数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

丸い球面の曲率

補題 3.4（「ポアンカレ予想 I」§3）・ ✓公理まで証明済み

半径 $r$ の球面 $S^n(r)=\{x\in\mathbb{R}^{n+1}:|x|=r\}$ （ $n\ge2$ ）に誘導計量を入れると

\operatorname{Rm}(X,Y)Z=\frac1{r^2}\bigl(\langle Y,Z\rangle X-\langle X,Z\rangle Y\bigr),\qquad \operatorname{Ric}=\frac{n-1}{r^2}\,g,\qquad R=\frac{n(n-1)}{r^2}.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

部分多様体の Levi-Civita 接続✓命題 5.4・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Einstein 計量と S² × ℝ の流れ✓命題 3.5・ポアンカレ予想 I
丸い球面の Ricci flow✓命題 3.6・ポアンカレ予想 I
閉曲面の全スカラー曲率は計量によらない✓命題 4.3・ポアンカレ予想 I

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