数学 › 未解決問題と大定理 › ポアンカレ予想 I

閉曲面の全スカラー曲率は計量によらない

命題 4.3（「ポアンカレ予想 I」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 27 件、定義なども含めて 32 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル
• 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
• 曲率の変分公式✓補題 4.1・ポアンカレ予想 I

  • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
• 関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • 発散の座標表示✓命題 5.5・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
      • Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
    • 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質

      • 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質 この先をたどる →
  • 余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

    • Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
    • 閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理

      • ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理 この先をたどる →
• 丸い球面の曲率✓補題 3.4・ポアンカレ予想 I

  • 部分多様体の Levi-Civita 接続✓命題 5.4・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

    • Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Ricci flow のもとでの球面の面積の変化✓命題 4.4・ポアンカレ予想 III