数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

余微分は外微分の随伴

命題 3.2（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§3）・ ✓公理まで証明済み

$\alpha\in\Omega^{k-1}(M)$ 、 $\beta\in\Omega^k(M)$ に対し $(d\alpha,\beta)=(\alpha,\delta\beta)$ 。また $\delta\circ\delta=0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 11 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
閉多様体上での消滅✓系 6.2・ストークスの定理
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理
  - 外向きベクトルと誘導される向き定義 4.5・ストークスの定理
  - フビニの定理（長方形上）✓定理 4.2・重積分と累次積分
    ダルブーの判定法✓命題 3.3・重積分と累次積分この先をたどる →
    リーマンの可積分条件✓定理 3.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
  - チャート内での積分定義 5.1・ストークスの定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

関数の Laplacian✓命題 3.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
調和形式の特徴づけ✓命題 3.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Hodge 分解の直交性と調和代表元の一意性✓命題 4.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
外微分と余微分の共変微分表示✓補題 5.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

関連するノック 2 問