数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

Hodge スターの性質

命題 2.2（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\star$ は一意に存在し、 $\{1,\dots,n\}$ の置換 $(i_1,\dots,i_n)$ が偶置換なら $\star(\theta^{i_1}\wedge\dots\wedge\theta^{i_k})=\theta^{i_{k+1}}\wedge\dots\wedge\theta^{i_n}$ 。とくに $\star1=\mathrm{vol}$ 、 $\star\mathrm{vol}=1$ 。
$\Lambda^k$ 上で $\star\star=(-1)^{k(n-k)}$ 。
$\star$ は等長写像： $\langle\star\alpha,\star\beta\rangle=\langle\alpha,\beta\rangle$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Hodge スターと型✓補題 2.1・Hodge 分解と Lefschetz 分解
余微分は外微分の随伴✓命題 3.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Hodge の定理✓定理 4.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Yang–Mills 方程式・ゲージ不変性・共形不変性✓命題 2.3・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I

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