Yang–Mills 方程式・ゲージ不変性・共形不変性

定義 2.1 の記号で次が成り立つ。

1. （ゲージ不変性）$F_{A^h}=h^{-1}F_Ah$ であり、$S(A^h)=S(A)$。
2. （Bianchi 恒等式）$D_\lambda F_{\mu\nu}+D_\mu F_{\nu\lambda}+D_\nu F_{\lambda\mu}=0$。
3. （Yang–Mills 方程式）$S(A)\lt\infty$ とする。コンパクト台をもつ滑らかな $\eta_\mu\colon\mathbb{R}^d\to\mathfrak{g}$ について $$\frac{d}{dt}S(A+t\eta)\Big|_{t=0}=-\frac{1}{g^2}\int\sum_{\mu,\nu}\langle D_\mu F_{\mu\nu},\eta_\nu\rangle\,d^dx .$$ したがって $A$ がすべてのコンパクト台の変分について $S$ の停留点であることは、$\sum_\mu D_\mu F_{\mu\nu}=0$（$\nu=1,\dots,d$）と同値である。
4. （スケール変換）$\lambda\gt0$ について $A^\lambda_\mu(x)=\lambda A_\mu(\lambda x)$ と置くと $S(A^\lambda)=\lambda^{4-d}S(A)$。とくに $d=4$ では $S(A^\lambda)=S(A)$。
5. （共形不変性）$d=4$ のとき、$|F_A|^2\,d^4x$ は計量 $\delta_{\mu\nu}$ を $\Omega(x)^2\delta_{\mu\nu}$（$\Omega\gt0$ は滑らかな関数）に取り替えても変わらない。