数学 › 未解決問題と大定理 › Yang–Mills 理論と質量ギャップ I

作用の下限と自己双対性

命題 2.4（「Yang–Mills 理論と質量ギャップ I」§2）・ ✓公理まで証明済み

$d=4$ とし、 $A$ を $|F_A|^2$ が可積分な接続とする。

$S(A)\ge\dfrac{8\pi^2}{g^2}\,|k(A)|$ 。等号は $F=\star F$ （自己双対）または $F=-\star F$ （反自己双対）のとき、そのときに限る。
$F=\pm\star F$ を満たす接続は Yang–Mills 方程式 $\sum_\mu D_\mu F_{\mu\nu}=0$ を満たす。
$A'-A$ がコンパクト台をもつなら $k(A')=k(A)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Yang–Mills 方程式・ゲージ不変性・共形不変性✓命題 2.3・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I
- ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
- 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
- Hodge スター定義 2.1・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Hodge スターの性質✓命題 2.2・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類
- 共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
  - ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続（上で展開済み）
  - 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
- 接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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