数学 › 微分幾何学 › Chern–Weil 理論と特性類

Chern–Weil の定理

定理 2.3（「Chern–Weil 理論と特性類」§2）・ ✓公理まで証明済み

$P\to M$ を主 $G$ 束、 $f$ を次数 $k$ の不変多項式とする。

任意の接続について $f(F)$ は $M$ 上の閉 $2k$ 形式である。
二つの接続 $A_0,A_1$ について $\eta=A_1-A_0$ 、 $A_t=A_0+t\eta$ 、 $F_t$ をその曲率とすると $f(F_1)-f(F_0)=d\,Tf(A_0,A_1),\qquad Tf(A_0,A_1)=k\int_0^1f(\eta,F_t,\dots,F_t)\,dt.$ したがって de Rham 類 $[f(F)]\in H^{2k}_{\mathrm{dR}}(M;\mathbb{C})$ は接続によらない。
$f\mapsto[f(F)]$ は不変多項式の環から $H^{\mathrm{ev}}_{\mathrm{dR}}(M;\mathbb{C})$ への環準同型（Chern–Weil 準同型）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
- ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
- 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
- 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 3 件

第一 Chern 類✓定理 4.5・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子
Pontryagin 類の基本性質✓命題 3.12・指数定理
作用の下限と自己双対性✓命題 2.4・Yang–Mills 理論と質量ギャップ I

関連するノック 3 問