Pontryagin 類の基本性質

命題 3.12（「指数定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$p(E)$ の各成分は閉形式で、その類は接続によらない。
$\det(1+\Omega/2\pi)$ の次数 $4k+2$ の成分は $0$ である。
$p_1(E)=-\dfrac1{8\pi^2}\bigl[\operatorname{tr}(\Omega\wedge\Omega)\bigr]$ 。
$p_k(E)=(-1)^kc_{2k}(E\otimes\mathbb{C})$ 。とくに複素ベクトル束 $E$ を実ベクトル束と見ると $p_1(E)=c_1(E)^2-2c_2(E)$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

不変多項式定義 2.1・Chern–Weil 理論と特性類
Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類
- 共変外微分と不変多項式✓補題 2.2・Chern–Weil 理論と特性類
  - ゲージ変換の局所表示と作用✓命題 6.2・ファイバー束・主束と接続
    切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
    曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
  - 曲率形式とその性質✓命題 5.1・ファイバー束・主束と接続
- 接続形式と局所ゲージポテンシャル✓定理 4.3・ファイバー束・主束と接続
  - 切断を取り替えたときの引き戻し✓補題 4.2・ファイバー束・主束と接続
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
Chern 類の基本性質✓命題 3.2・Chern–Weil 理論と特性類
- 直和・テンソル積・双対の構成✓命題 2.4・ファイバー束・主束と接続
  - コサイクルからの再構成✓命題 2.2・ファイバー束・主束と接続