Milnor のエキゾチック 7 次元球面

定理 3.3（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§3）・ △証明あり（閉包未完）

$h+j=1$ とする。

$M_{h,j}$ の上に、臨界点がちょうど 2 つで、どちらも非退化な滑らかな関数が存在する。したがって $M_{h,j}$ はねじれ球面に微分同相で、 $S^7$ に同相である。
$\xi_{h,j}$ の零切断 $Z\cong S^4$ の $B_{h,j}$ の中での自己交点数は $\pm1$ で、 $p_1(\xi_{h,j})[S^4]=\pm2(h-j)$ である。
Hirzebruch の符号数定理（定理 3.14［指数定理］。主張のみ）と、「向き付けられた閉 8 次元多様体 $C$ の Pontryagin 数 $p_2[C]$ は整数である」という事実を仮定する。このとき、 $(h-j)^2\not\equiv1\pmod7$ ならば $M_{h,j}$ は $S^7$ に微分同相でない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

Hirzebruch の符号数定理（主張のみ）※定理 3.14・指数定理

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

臨界点が 2 つの Morse 関数をもつ閉多様体はねじれ球面✓命題 2.7・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
- Reeb の球面定理✓定理 8.3・Morse 理論
  - Taylor の積分形（2 次）✓補題 3.1・Morse 理論
  - Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論（上で展開済み）
  - 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論この先をたどる →
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
- Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論
  - Taylor の積分形（2 次）✓補題 3.1・Morse 理論
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論この先をたどる →
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
  - 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- Alexander の技巧✓補題 2.6・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
交点数は Poincaré 双対の積の積分✓系 5.6・Thom 類と Poincaré 双対
- 横断性ホモトピー定理✓定理 9.1・横断性この先をたどる →
- Poincaré 双対は法束の Thom 類✓定理 5.2・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
接束の Euler 数は Euler 標数✓定理 6.5・Thom 類と Poincaré 双対
- Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える✓補題 5.5・Thom 類と Poincaré 双対この先をたどる →
- 零点のない切断があれば Euler 類は消える✓系 6.3・Thom 類と Poincaré 双対
- Morse 関数の勾配の指数✓補題 7.5・交点数と写像度
  - Hessian と非退化臨界点定義 2.1・Morse 理論
- 指数は座標によらない✓命題 7.2・交点数と写像度この先をたどる →
- Poincaré–Hopf の定理✓定理 7.6・交点数と写像度この先をたどる →
Pontryagin 類の基本性質✓命題 3.12・指数定理
- 不変多項式定義 2.1・Chern–Weil 理論と特性類
- Chern–Weil の定理✓定理 2.3・Chern–Weil 理論と特性類この先をたどる →
- Chern 類定義 3.1・Chern–Weil 理論と特性類
- Chern 類の基本性質✓命題 3.2・Chern–Weil 理論と特性類
  - 直和・テンソル積・双対の構成✓命題 2.4・ファイバー束・主束と接続この先をたどる →
Chern–Simons 形式✓定理 6.1・Chern–Weil 理論と特性類
貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
- 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
球面のコホモロジー✓定理 5.1・de Rham コホモロジー
- 立体射影は同相写像✓補題 5.2・微分可能多様体の定義
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- 円柱と穴あき空間✓系 3.5・de Rham コホモロジー
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー（上で展開済み）
Pontryagin 数の同境不変性✓命題 6.8・同境と Pontryagin–Thom 構成
- Pontryagin 類の基本性質✓命題 3.12・指数定理（上で展開済み）
- ストークスの定理✓定理 6.1・ストークスの定理この先をたどる →
Hirzebruch の符号数定理（主張のみ）※定理 3.14・指数定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Milnor のエキゾチック 7 次元球面

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）