Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える

補題 5.5（「Thom 類と Poincaré 双対」§5）・ ✓公理まで証明済み

$M$ を向き付けられた $n$ 次元多様体、 $Z\subset M$ を余次元 $q$ のコンパクトな向き付けられた部分多様体、 $T$ を $Z$ の管状近傍（定理 5.2 のとおり）とする。 $D$ を向き付けられた $q$ 次元の境界のない多様体、 $g\colon D\to M$ を滑らかな写像で、 $g\pitchfork Z$ であり、 $T$ の任意のコンパクト集合 $C$ に対し $g^{-1}(C)$ がコンパクトであるものとする（ $D$ がコンパクトならこの条件は自動的に成り立つ）。このとき $g^{-1}(Z)$ は有限集合で、 $T$ の中に台がコンパクトな、 $\nu_Z$ の Thom 類を代表する任意の閉形式 $\Phi$ に対し

\int_Dg^{*}\Phi=\sum_{x\in g^{-1}(Z)}\varepsilon_x,

ただし $\varepsilon_x=\pm1$ は、合成 $T_xD\xrightarrow{dg_x}T_zM\to T_zM/T_zZ=\nu_{Z,z}$ （ $z=g(x)$ 。横断性から同型）が向きを保つとき $+1$ 、逆にするとき $-1$ である。定義 3.1［交点数と写像度］の符号とは

\varepsilon_x=(-1)^{q(n-q)}\operatorname{sign}_x(g,Z)

の関係にある。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 54 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性
- 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
- 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理
  - 沈め込みの局所標準形✓定理 3.2・部分多様体と正則値定理
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
指定した点の近くで積の形をした Thom 形式✓補題 5.4・Thom 類と Poincaré 双対
- Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対
  - Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対
    Fubini の定理✓定理 3.4・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - 鉛直コンパクト台の Poincaré の補題✓補題 3.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
  - 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- Thom 類の特徴づけと基本性質✓命題 4.3・Thom 類と Poincaré 双対
  - Thom 同型定理✓定理 4.1・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対（上で展開済み）
  - 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
有限交叉性によるコンパクト性の特徴づけ✓命題 4.5・コンパクト性
- ド・モルガンの法則（集合族版）✓系 5.6・数学の国語
  - 量化子の否定✓定理 5.3・数学の国語
    全称記号と存在記号定義 5.2・数学の国語
    論理結合子定義 2.3・数学の国語
  - 外延性の原理公理 3.2・数学の国語

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Hopf 不変量と絡み数✓定理 4.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
交点数は Poincaré 双対の積の積分✓系 5.6・Thom 類と Poincaré 双対
横断的な逆像と引き戻し✓命題 5.7・Thom 類と Poincaré 双対
接束の Euler 数は Euler 標数✓定理 6.5・Thom 類と Poincaré 双対

Thom 形式の引き戻しの積分は交わりを数える

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件