数学 › 微分位相 › Thom 類と Poincaré 双対

ファイバーに沿った積分の性質

補題 3.2（「Thom 類と Poincaré 双対」§3） ・ ✓公理まで証明済み

π ⁣:E→M\pi\colon E\to M を階数 rr の向き付きベクトル束とする。

  1. π∗\pi_{*} は外微分と可換である。dπ∗ω=π∗dωd\pi_{*}\omega=\pi_{*}d\omega（ω∈Ωcv(E)\omega\in\Omega_{cv}(E)）。したがって π∗ ⁣:Hcvk+r(E)→Hk(M)\pi_{*}\colon H^{k+r}_{cv}(E)\to H^k(M) が定まる。
  2. （射影公式）τ∈Ω(M)\tau\in\Omega(M)、ω∈Ωcv(E)\omega\in\Omega_{cv}(E) に対し π∗(π∗τ∧ω)=τ∧π∗ω\pi_{*}(\pi^{*}\tau\wedge\omega)=\tau\wedge\pi_{*}\omega。
  3. MM が向き付けられた nn 次元多様体のとき、τ∈Ωcn−k(M)\tau\in\Omega^{n-k}_c(M)、ω∈Ωcvk+r(E)\omega\in\Omega^{k+r}_{cv}(E) に対し ∫Eπ∗τ∧ω=∫Mτ∧π∗ω.\int_E\pi^{*}\tau\wedge\omega=\int_M\tau\wedge\pi_{*}\omega .
  4. f ⁣:N→Mf\colon N\to M を滑らかな写像、f~ ⁣:f∗E→E\tilde f\colon f^{*}E\to E を引き戻しの束写像、π′ ⁣:f∗E→N\pi'\colon f^{*}E\to N とすると、f~∗\tilde f^{*} は Ωcv(E)\Omega_{cv}(E) を Ωcv(f∗E)\Omega_{cv}(f^{*}E) に写し、π∗′f~∗=f∗π∗\pi'_{*}\tilde f^{*}=f^{*}\pi_{*}。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件