数学 › 解析学（実解析） › 直積測度と Fubini–Tonelli の定理

Fubini の定理

定理 3.4（「直積測度と Fubini–Tonelli の定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$(X,\mathcal{M},\mu)$ 、 $(Y,\mathcal{N},\nu)$ を $\sigma$ -有限な測度空間とし、 $f:X\times Y\to\mathbb{C}$ （または $\mathbb{R}$ ）を $\mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$ -可測で $\int|f|\,d(\mu\times\nu)<\infty$ とする。このとき

$\mu$ -ほとんどすべての $x$ で $f_x\in L^1(\nu)$ 、 $\nu$ -ほとんどすべての $y$ で $f^{y}\in L^1(\mu)$ 。
$g(x)=\int_Y f(x,y)\,d\nu(y)$ （上の例外集合では $0$ と定める）は $L^1(\mu)$ に、 $h(y)=\int_X f(x,y)\,d\mu(x)$ は $L^1(\nu)$ に属する。
$\displaystyle\int_{X\times Y}f\,d(\mu\times\nu)=\int_X g\,d\mu=\int_Y h\,d\nu$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 18 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
- 直積測度の存在と一意性✓定理 3.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
  - 切断の測度の可測性✓補題 3.1・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
    可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
  - 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 測度の一意性✓定理 4.5・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    Dynkin の π-λ 定理✓定理 4.4・測度空間と Carathéodory の拡張定理
    測度の基本性質✓命題 2.3・測度空間と Carathéodory の拡張定理この先をたどる →
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列
    アルキメデスの原理✓定理 3.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
    整数部分の存在✓補題 5.1・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 非負可測関数の積分の線型性と項別積分✓系 5.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 41 件

区分的に滑らかな連続関数は H¹ に属する✓補題 2.3・有限要素法 II
一般の長方形での H² 正則性✓系 5.3・有限要素法 II
積型求積則の誤差✓定理 3.1・Monte Carlo 積分と分散低減
単調な 2 関数の共分散✓補題 4.2・Monte Carlo 積分と分散低減
2 つの推定量の期待値と分散✓命題 6.2・経路積分 Monte Carlo
Marsaglia の定理✓定理 4.3・擬似乱数生成器
頂点 (1, …, 1) を基点とする展開✓補題 4.3・準 Monte Carlo 法
Koksma–Hlawka の不等式✓定理 4.4・準 Monte Carlo 法
無作為な平行移動による推定量は不偏✓命題 7.2・準 Monte Carlo 法
ANOVA 分解の直交性と、無作為化した準 Monte Carlo 法の誤差✓命題 7.4・準 Monte Carlo 法
熱方程式の解の一意性✓補題 4.4・熱核の漸近展開
熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開
ファイバーに沿った積分の性質✓補題 3.2・Thom 類と Poincaré 双対
Fourier 級数の項別積分✓命題 5.5・フーリエ級数
L¹ での基本性質✓命題 2.2・ℝⁿ 上のフーリエ変換
反転公式✓定理 3.3・ℝⁿ 上のフーリエ変換
Wiener の定理✓命題 8.1・ℝⁿ 上のフーリエ変換
微分と掛け算の交換✓補題 4.1・Schwartz 空間と緩増加超関数
𝒮 上の Fourier 変換✓定理 4.2・Schwartz 空間と緩増加超関数
Schur テスト✓定理 5.1・作用素不等式と積分作用素
多次元トーラスの Parseval の等式✓補題 4.1・Navier–Stokes 方程式 I
積分で与えられた関数の 2 乗✓補題 6.1・Navier–Stokes 方程式 I
有限測度の Fourier 変換の一意性✓補題 6.1・Lorentz 群・Poincaré 群の表現
Laplace 変換の演算則✓命題 7.2・線形微分方程式系
Gauss 平滑化✓補題 3.1・特性関数と Gauss ベクトル
Lévy の反転公式✓定理 3.5・特性関数と Gauss ベクトル
特性関数による緊密性の評価✓補題 4.5・特性関数と Gauss ベクトル
$ℝ^d$ の極座標分解✓定理 6.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
畳み込みの $L^1$ ノルム✓定理 5.2・直積測度と Fubini–Tonelli の定理
Watson–Nevanlinna–Sokal の定理✓定理 8.2・漸近解析
共分散の性質（原論文の (V.A.1)–(V.A.2)）✓補題 2.1・Abdesselam–Rivasseau『Trees, forests and jungles』(1994) 部 2
伝播関数の性質と尺度の和（原論文の (11)(12)）✓補題 4.2・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 1
熱核による表示✓補題 8.1・Abdesselam–Rivasseau (1997) 部 2
双対表示（原論文 (4.16)–(4.19)）✓補題 8.1・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 2 部
切断つきのゲージ不変性（原論文 (5.5)、(5.6)）✓命題 3.2・Brydges–Fröhlich–Seiler『On the construction of quantized gauge fields I』(1979) 第 3 部
Gauss 型の部分積分（Symanzik の恒等式）✓補題 3.5・Fröhlich『On the triviality of λφ⁴_d theories』(1982)
補間公式とその連結成分への分解（原論文 (5.20)–(5.22)）✓定理 4.7・Gawędzki–Kupiainen『Massless lattice φ⁴₄ theory』(1985) 第 2 部
変数を共有しない因子の積分の分解✓補題 3.4・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
平均 0 の重みでの閉性✓補題 4.7・Osterwalder–Seiler『Gauge field theories on a lattice』(1978) 第 2 部
切断付きの Feynman–Kac–Nelson 公式✓補題 4.3・P(φ)₂ 模型の構成

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