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Watson–Nevanlinna–Sokal の定理

定理 8.2（「漸近解析」§8） ・ ✓公理まで証明済み

ff を CRC_R で正則とし、定数 A,σ>0A,\sigma>0 と複素数 aka_k があって、すべての N≥0N\ge0 と z∈CRz\in C_R について

∣f(z)−∑k=0N−1akzk∣≤A σNN! ∣z∣N\Bigl|f(z)-\sum_{k=0}^{N-1}a_kz^k\Bigr|\le A\,\sigma^N N!\,|z|^N

とする。このとき次が成り立つ。

  1. ∣ak∣≤Aσkk!|a_k|\le A\sigma^kk! で、Borel 変換 B(t)=∑aktk/k!\mathcal B(t)=\sum a_kt^k/k! は ∣t∣<1/σ|t|\lt1/\sigma で収束する。
  2. B\mathcal B は Sσ={t:dist⁡(t,[0,∞))<1/σ}S_\sigma=\{t:\operatorname{dist}(t,[0,\infty))\lt1/\sigma\} に正則に解析接続され、任意の c>1/Rc>1/R、σ′>σ\sigma'>\sigma について、ある KK で Sσ′S_{\sigma'} 上 ∣B(t)∣≤Kec∣t∣|\mathcal B(t)|\le Ke^{c|t|}。
  3. すべての z∈CRz\in C_R で f(z)=1z∫0∞e−t/zB(t) dtf(z)=\dfrac1z\displaystyle\int_0^\infty e^{-t/z}\mathcal B(t)\,dt。

とくに、すべての aka_k が 00 なら f≡0f\equiv0 である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 100 件、定義なども含めて 122 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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