複素線積分の基本性質

$\gamma:[a,b]\to\mathbb{C}$ を区分的に滑らかな道、$f, g$ を $\gamma^{*}$ 上連続な複素数値関数、$\alpha,\beta\in\mathbb{C}$ とする。

1. （線形性）$\displaystyle\int_\gamma (\alpha f + \beta g)\,dz = \alpha\int_\gamma f\,dz + \beta\int_\gamma g\,dz$。
2. （向きの反転）$(-\gamma)(t) := \gamma(a + b - t)$（$t\in[a,b]$）と定めると、$\displaystyle\int_{-\gamma} f\,dz = -\int_\gamma f\,dz$。
3. （道の連結）$\gamma$ の終点と道 $\sigma$ の始点が一致するとき、$\gamma$ に続けて $\sigma$ を進む道を $\gamma + \sigma$ と書けば $\displaystyle\int_{\gamma+\sigma} f\,dz = \int_\gamma f\,dz + \int_\sigma f\,dz$。
4. （パラメータ変換不変性）$\varphi:[c,d]\to[a,b]$ が $C^1$ 級の全単射で $\varphi' > 0$、$\varphi(c) = a$、$\varphi(d) = b$ ならば $\displaystyle\int_{\gamma\circ\varphi} f\,dz = \int_\gamma f\,dz$。