留数定理

定理 5.1（「留数定理と定積分への応用」§5）・ ✓公理まで証明済み

$D \subset \mathbb{C}$ を開集合とし、 $C$ を区分的に $C^1$ 級の単純閉曲線で、正の向き（内部を左に見る向き）を与えたものとする。 $C$ の内部（ジョルダンの曲線定理でいう有界成分）を $\operatorname{int}C$ と書き、 $C$ と $\operatorname{int}C$ はともに $D$ に含まれるとする（ $D$ が単連結領域なら、 $C\subset D$ だけからこれが従う）。相異なる有限個の点 $a_1,\dots,a_n \in \operatorname{int}C$ を取り、 $f$ は $D \setminus \{a_1,\dots,a_n\}$ で正則とする。このとき

\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{j=1}^{n}\operatorname{Res}(f,a_j).

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 38 件、定義なども含めて 46 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
- 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
- Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
  - Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
- 単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
- コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
  - コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用

これを使っている定理証明で参照している 20 件

偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
cot の部分分数展開✓命題 5.3・整関数とガンマ関数
有理関数の広義積分✓命題 6.2・留数定理と定積分への応用
a + b cosθ 型の積分✓命題 7.1・留数定理と定積分への応用
鍵穴輪郭による分数べきの積分✓定理 9.1・留数定理と定積分への応用
対数を使う鍵穴積分✓命題 9.3・留数定理と定積分への応用
留数による級数の和✓定理 10.2・留数定理と定積分への応用
共通の信号からの接続（原稿 Proposition 2.1 の述べ直し）✓命題 5.1・リーマン予想 III
一様な零点なし半平面からの帰結（仮定つき）✓命題 7.2・リーマン予想 III
Mertens 関数によるリーマン予想の言い換え（Littlewood）✓定理 7.4・リーマン予想 II
Riemann–von Mangoldt の個数公式✓定理 5.2・リーマン予想 I
打ち切った明示公式✓補題 7.1・リーマン予想 I
位数公式✓定理 5.6・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
打ち切った Perron の公式✓補題 7.10・リーマン予想とは何か
有理関数の逆 Laplace 変換と留数✓系 7.7・線形微分方程式系
帯状領域の積分公式✓補題 6.2・冨田–竹崎の定理の証明
Watson–Nevanlinna–Sokal の定理✓定理 8.2・漸近解析
sech のべきの Fourier 変換✓補題 7.4・Bessel・Airy・Whittaker 関数
指数崩壊則（Hunziker）✓定理 5.2・共鳴
松原和の留数公式✓定理 4.1・松原形式と有限温度 Green 関数

留数定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

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