留数による級数の和

定理 10.2（「留数定理と定積分への応用」§10）・ ✓公理まで証明済み

$f=P/Q$ を有理関数で $\deg Q\ge\deg P+2$ を満たすものとし、 $f$ の極を $z_1,\dots,z_p$ とする。このとき

\sum_{\substack{n\in\mathbb{Z}\\ n\notin\{z_1,\dots,z_p\}}}f(n)=-\sum_{k=1}^p\operatorname{Res}\bigl(\pi\cot(\pi z)\,f(z),\,z_k\bigr)

が成り立つ（左辺は絶対収束する）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 40 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

cot πz の一様な評価✓補題 10.1・留数定理と定積分への応用
留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
- コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
  - 単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

留数による級数の和

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）