数学 › 複素関数論 › 正則関数とコーシー・リーマンの関係式

コーシー・リーマンの関係式（必要性）

定理 4.1（「正則関数とコーシー・リーマンの関係式」§4）・ ✓公理まで証明済み

開集合 $\Omega \subset \mathbb{C}$ 上の関数 $f = u + iv$ が点 $z_0 = x_0 + i y_0 \in \Omega$ で複素微分可能であるとする。このとき

$u$ と $v$ は点 $(x_0, y_0)$ で（実 2 変数の意味で）全微分可能であり、
その偏微分はコーシー・リーマンの関係式 $u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0), \qquad u_y(x_0,y_0) = -\,v_x(x_0,y_0)$ を満たし、
微分係数は $f'(z_0) = u_x(x_0,y_0) + i\,v_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0) - i\,u_y(x_0,y_0)$ と表される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 2 件、定義なども含めて 3 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

これを使っている定理証明で参照している 9 件

コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
関係式の複素形✓命題 4.5・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
点における必要十分条件✓系 5.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
ヤコビ行列の形✓命題 5.6・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
導関数が消えれば定数✓命題 5.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
絶対値が定数の正則関数は定数✓命題 7.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像

関連するノック 3 問