ヤコビ行列の形

命題 5.6（「正則関数とコーシー・リーマンの関係式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$f = u+iv$ が $z_0$ で複素微分可能とし、 $f$ を $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ の写像とみなしたときのヤコビ行列を

J_f(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{pmatrix}

とする（すべて $(x_0,y_0)$ での値）。このとき $a = u_x$ , $b = v_x$ とおくと

J_f(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} = |f'(z_0)| \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix} \quad (f'(z_0) \ne 0,\ \theta = \arg f'(z_0))

であり、特に $\det J_f(x_0,y_0) = a^2 + b^2 = |f'(z_0)|^2 \ge 0$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 3 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。