正則写像は滑らかで、微分は複素線型

補題 2.2（「複素多様体と正則写像」§2）・ ✓公理まで証明済み

$U\subseteq\mathbb{C}^n$ を開集合、 $F:U\to\mathbb{C}^m$ を正則写像とする。

$F$ は $\mathbb{R}^{2n}$ の開集合から $\mathbb{R}^{2m}$ への写像として $C^\infty$ 級で、 $\partial F/\partial x_j=\partial_jF$ 、 $\partial F/\partial y_j=i\,\partial_jF$ が成り立つ。したがって点 $a$ での実の微分 $dF_a:\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m$ は複素線型写像 $v\mapsto J_F(a)v$ である。
$V\subseteq\mathbb{C}^m$ を開集合、 $F(U)\subseteq V$ 、 $G:V\to\mathbb{C}^l$ を正則写像とすると、 $G\circ F$ は正則で $J_{G\circ F}(z)=J_G(F(z))\,J_F(z)$ である。
逆に、 $C^1$ 級の写像 $H:U\to\mathbb{C}^m$ の微分 $dH_a$ がすべての $a\in U$ で複素線型ならば、 $H$ は正則である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 66 件、定義なども含めて 80 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論
- 多重円板の Cauchy 積分公式✓定理 2.2・多変数複素関数論
  - コーシーの積分公式✓定理 6.1・コーシーの積分定理と積分公式
    積分路の変形定理✓定理 5.1・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    べき関数の円周上の積分✓補題 2.5・コーシーの積分定理と積分公式
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
- ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
  - モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論（上で展開済み）
C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

これを使っている定理証明で参照している 5 件

(p,q) 型への分解✓命題 3.2・概複素構造と Dolbeault コホモロジー
正則写像の逆関数定理・陰関数定理✓定理 3.1・複素多様体と正則写像
複素部分多様体は複素多様体✓補題 5.2・複素多様体と正則写像
𝒪ₙ は整域で局所環✓補題 8.2・複素多様体と正則写像
切断が定める写像の性質✓補題 6.2・Kodaira の消滅定理と埋め込み定理

正則写像は滑らかで、微分は複素線型

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件