数学 › 複素幾何 › 複素多様体と正則写像

正則写像の逆関数定理・陰関数定理

定理 3.1（「複素多様体と正則写像」§3） ・ ✓公理まで証明済み

U⊆CnU\subseteq\mathbb{C}^n を開集合とする。

  1. （行列式の関係）F:U→CnF:U\to\mathbb{C}^n を正則写像とすると、FF を R2n\mathbb{R}^{2n} の開集合から R2n\mathbb{R}^{2n} への写像と見たときの実 Jacobi 行列式は ∣det⁡JF(z)∣2|\det J_F(z)|^2 に等しい。とくに非負である。
  2. （逆関数定理）F:U→CnF:U\to\mathbb{C}^n が正則で、a∈Ua\in U で det⁡JF(a)≠0\det J_F(a)\ne0 ならば、aa の開近傍 V⊆UV\subseteq U と F(a)F(a) の開近傍 WW があって、F∣V:V→WF|_V:V\to W は双正則である。
  3. （陰関数定理）n=m+kn=m+k とし、Cn\mathbb{C}^n の点を (z,w)(z,w)（z∈Cmz\in\mathbb{C}^m、w∈Ckw\in\mathbb{C}^k）と書く。F:U→CkF:U\to\mathbb{C}^k が正則で、(a,b)∈U(a,b)\in U で F(a,b)=0F(a,b)=0 かつ k×kk\times k 行列 (∂Fi/∂wj(a,b))\bigl(\partial F_i/\partial w_j(a,b)\bigr) が可逆ならば、aa の開近傍 V′V'、bb の開近傍 V′′V''（V′×V′′⊆UV'\times V''\subseteq U）と正則写像 g:V′→V′′g:V'\to V'' があって
{(z,w)∈V′×V′′:F(z,w)=0}={(z,g(z)):z∈V′}\{(z,w)\in V'\times V'':F(z,w)=0\}=\{(z,g(z)):z\in V'\}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 69 件、定義なども含めて 83 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件