数学 › 複素関数論 › コーシーの積分定理と積分公式

複素線積分に対する微積分の基本定理

定理 3.2（「コーシーの積分定理と積分公式」§3）・ ✓公理まで証明済み

$D\subset\mathbb{C}$ を領域、 $f:D\to\mathbb{C}$ を連続関数とし、 $f$ は $D$ 上に原始関数 $F$ をもつとする。このとき $D$ 内の任意の区分的に滑らかな道 $\gamma:[a,b]\to D$ に対して

\int_\gamma f(z)\,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))

が成り立つ。とくに $\gamma$ が閉道（ $\gamma(a) = \gamma(b)$ ）ならば $\displaystyle\int_\gamma f(z)\,dz = 0$ であり、積分の値は始点と終点だけで決まって途中の道によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式

これを使っている定理証明で参照している 6 件

Rouché の定理✓定理 4.1・偏角の原理と Rouché の定理
1/z は穴あき平面上に原始関数をもたない✓系 3.3・コーシーの積分定理と積分公式
グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式
有界なら連続✓補題 3.2・多変数複素関数論
位数公式✓定理 5.6・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
Airy 関数の基本性質✓命題 4.2・Bessel・Airy・Whittaker 関数

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