Rouché の定理

定理 4.1（「偏角の原理と Rouché の定理」§4）・ ✓公理まで証明済み

$f,g$ を $D(a,R)$ 上の有理型関数とし、 $0<r<R$ とする。 $C_r$ 上の各点で $f,g$ は正則であり、

|f(z)-g(z)|<|f(z)|+|g(z)| \qquad (z\in C_r)

が成り立つとする。このとき $f,g$ は $C_r$ 上に零点をもたず、 $D(a,r)$ 内の零点の個数 $N_f,N_g$ と極の個数 $P_f,P_g$ （位数込み）について

N_f-P_f=N_g-P_g

が成り立つ。特に $f,g$ がともに $D(a,R)$ 上で正則なら $N_f=N_g$ である。

とりわけ、 $C_r$ 上で $|f-g|<|f|$ ならば仮定は成り立つ（ $|f|\le|f|+|g|$ より）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 66 件、定義なども含めて 82 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 極座標のコーシー・リーマンの関係式✓補題 6.8・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
- 複素指数関数定義 6.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
複素線積分に対する微積分の基本定理✓定理 3.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - タグ付き分割とリーマン和定義 2.2・積分の基本定理と定積分
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
- 零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
    零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
  - コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
- 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Hurwitz の定理✓定理 5.3・偏角の原理と Rouché の定理
正則写像の局所構造✓定理 6.1・偏角の原理と Rouché の定理
多項式の根の連続性✓定理 7.3・偏角の原理と Rouché の定理
指数崩壊則（Hunziker）✓定理 5.2・共鳴

Rouché の定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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