極座標のコーシー・リーマンの関係式

補題 6.8（「正則関数とコーシー・リーマンの関係式」§6）・ ✓公理まで証明済み

$U \subset (0,\infty)\times(-\pi,\pi)$ を開集合とし、 $\Phi(r,\theta) = (r\cos\theta,\, r\sin\theta)$ による像 $\Phi(U)$ 上の関数 $f = u+iv$ を考える。 $u, v$ が $(r,\theta)$ の関数として $C^1$ 級であるとき、 $f$ が $\Phi(U)$ 上正則であることと

\frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta}, \qquad \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta}

が $U$ 上で成り立つことは同値である。さらにこのとき $z = re^{i\theta}$ において

f'(z) = e^{-i\theta}\left( \frac{\partial u}{\partial r} + i \frac{\partial v}{\partial r}\right) .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 22 件、定義なども含めて 29 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

これを使っている定理証明で参照している 1 件

対数の主枝の正則性✓定理 6.9・正則関数とコーシー・リーマンの関係式

極座標のコーシー・リーマンの関係式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件