偏角の原理

定理 3.1（「偏角の原理と Rouché の定理」§3）・ ✓公理まで証明済み

$f\not\equiv0$ を $D(a,R)$ 上の有理型関数とし、 $0<r<R$ で、 $f$ は円周 $C_r$ 上に零点も極ももたないとする。 $g$ を $D(a,R)$ 上の正則関数とする。 $D(a,r)$ 内にある $f$ の相異なる零点を $z_1,\dots,z_s$ （位数 $m_1,\dots,m_s$ ）、相異なる極を $p_1,\dots,p_t$ （位数 $n_1,\dots,n_t$ ）とすると

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_r}g(z)\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=\sum_{j=1}^{s}m_j\,g(z_j)-\sum_{l=1}^{t}n_l\,g(p_l)

が成り立つ。特に $g\equiv1$ とすると、零点の個数 $N$ と極の個数 $P$ （ともに位数を込めて数える）について

\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_r}\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=N-P .

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 45 件、定義なども含めて 53 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
    一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
    コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質この先をたどる →
留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
- コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
  - Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
  - 単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
- 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Rouché の定理✓定理 4.1・偏角の原理と Rouché の定理
正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像
Weierstrass の準備定理✓定理 8.4・複素多様体と正則写像
位数公式✓定理 5.6・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
Levinson の定理✓定理 4.1・1 次元散乱と Jost 関数

偏角の原理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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