正則な方向の存在と零点の個数

補題 7.3（「複素多様体と正則写像」§7）・ ✓公理まで証明済み

$U$ を $0\in\mathbb{C}^n$ の凸な開近傍、 $h_1,\dots,h_k\in\mathcal{O}(U)$ をどれも恒等的に $0$ ではない関数とする。このとき $\mathbb{C}^n$ の線型同型 $T$ で、 $h_1\circ T,\dots,h_k\circ T$ がすべて $z_n$ について正則になるものがある。
$h$ を $0$ の開近傍 $U$ 上の正則関数で、 $z_n$ について位数 $d$ で正則なものとする。このとき、十分小さい任意の $r>0$ に対して $\delta>0$ があって、 $\overline{P(0,\delta)}\times\overline{D(0,r)}\subseteq U$ であり、 $|z'|_\infty\le\delta$ 、 $|z_n|=r$ のとき $h(z',z_n)\ne0$ で、しかも $|z'|_\infty<\delta$ である各 $z'$ について、 $h(z',\cdot)$ の $D(0,r)$ 内の零点の個数は重複度を込めてちょうど $d$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 71 件、定義なども含めて 84 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像
- 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論
  - ワイエルシュトラスの収束定理✓定理 5.2・偏角の原理と Rouché の定理
    グルサの定理（三角形版）✓定理 4.5・コーシーの積分定理と積分公式この先をたどる →
    ML 不等式✓補題 2.4・コーシーの積分定理と積分公式
    モレラの定理✓定理 3.6・正則関数の強力な性質この先をたどる →
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - べき級数展開と Cauchy 評価（Osgood の補題）✓定理 2.3・多変数複素関数論
    多重円板の Cauchy 積分公式✓定理 2.2・多変数複素関数論この先をたどる →
    テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
- 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質
    コーシー型積分の微分✓補題 3.1・正則関数の強力な性質
- テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシーの評価式✓命題 4.1・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
- 零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理
  - 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
- 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用
  - コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
    コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
    複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式（上で展開済み）
    Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質（上で展開済み）
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分の基本性質✓命題 2.3・コーシーの積分定理と積分公式
    複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 一様収束する級数の項別積分✓補題 2.2・正則関数の強力な性質
  - 留数定義 4.1・留数定理と定積分への応用
- 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像
- 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

Riemann の延長定理✓定理 7.4・複素多様体と正則写像
Weierstrass の準備定理✓定理 8.4・複素多様体と正則写像
𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像
解析的超曲面の局所的な構造✓系 9.4・複素多様体と正則写像

正則な方向の存在と零点の個数

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件