解析的超曲面の局所的な構造

系 9.4（「複素多様体と正則写像」§9）・ ✓公理まで証明済み

$U$ を $0\in\mathbb{C}^n$ の開近傍、 $f,g,h\in\mathcal{O}(U)$ とし、 $Z(f)=\{f=0\}$ と書く。

（既約成分への分解） $f$ の $0$ での芽が $0$ でも単元でもなく、 $\mathcal{O}_n$ で $f=u\,p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ （ $u$ は単元、 $p_i$ は互いに単元倍でない既約元）と分解するとき、 $0$ の近傍で $Z(f)=Z(p_1)\cup\dots\cup Z(p_k)=Z(p_1\cdots p_k)$ である。
（零点集合が定義関数を決める） $f$ の $0$ での芽が重複因子をもたず、 $g$ が $0$ のある近傍で $Z(f)$ の上で $0$ ならば、 $\mathcal{O}_n$ で $f\mid g$ である。とくに、重複因子をもたない二つの芽が $0$ の近傍で同じ零点集合をもてば、両者は単元倍の違いしかない。
（近くの点への伝播） $g,h$ の $0$ での芽が $\mathcal{O}_n$ で互いに素ならば、 $0$ の近傍 $U'\subseteq U$ があって、すべての $a\in U'$ で $g,h$ の $a$ での芽は $\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n,a}$ で互いに素である。 $f$ の $0$ での芽が重複因子をもたなければ、 $0$ の近傍 $U'$ があって、すべての $a\in U'$ で $f$ の $a$ での芽は重複因子をもたない。
（被約な局所定義関数） $X$ を複素多様体、 $A\subseteq X$ を解析的超曲面とする。 $A$ の各点は開近傍 $V$ と、 $A\cap V=Z(f_V)$ で、 $V$ の各点での芽が重複因子をもたないような $f_V\in\mathcal{O}(V)$ をもつ。このような二つの組 $(V,f_V)$ 、 $(V',f_{V'})$ について、 $f_V/f_{V'}$ は $V\cap V'$ 上の零点をもたない正則関数に延びる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 118 件、定義なども含めて 141 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像
- 複素多様体上の一致の定理✓補題 4.3・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
- 一致の定理✓定理 7.3・正則関数の強力な性質
  - 零点の孤立性✓補題 7.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - テイラー展開✓定理 5.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 偏角の原理✓定理 3.1・偏角の原理と Rouché の定理
  - 零点と極の有限性✓補題 2.2・偏角の原理と Rouché の定理この先をたどる →
  - 留数定理✓定理 5.1・留数定理と定積分への応用この先をたどる →
  - 対数微分の留数✓補題 2.3・偏角の原理と Rouché の定理
- 径数つき積分の正則性✓補題 2.4・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
互いに素な Weierstrass 多項式の Bézout 関係式✓補題 9.3・複素多様体と正則写像
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- モニックな因子は係数環に入る✓補題 9.1・複素多様体と正則写像
  - 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
  - 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
- PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
根の評価✓補題 8.3・複素多様体と正則写像
𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像
- 𝒪ₙ は整域で局所環✓補題 8.2・複素多様体と正則写像
  - 多変数正則関数の基本性質✓命題 2.4・多変数複素関数論この先をたどる →
  - 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 局所環・半局所環・剰余体定義 3.8・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 正則写像は滑らかで、微分は複素線型✓補題 2.2・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- R が UFD なら R[x] も UFD✓定理 3.5・多項式環と体の拡大
  - 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
  - PID は UFD✓定理 2.5・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - 原始多項式の積は原始多項式✓補題 3.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 有理係数多項式の「内容」の分離✓補題 3.3・多項式環と体の拡大
  - ガウスの補題✓定理 3.4・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 正則な方向の存在と零点の個数✓補題 7.3・複素多様体と正則写像（上で展開済み）
- Weierstrass 多項式の因子✓補題 8.6・複素多様体と正則写像
  - Weierstrass の割り算定理✓定理 8.5・複素多様体と正則写像この先をたどる →
  - Weierstrass の準備定理✓定理 8.4・複素多様体と正則写像この先をたどる →
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- 一意分解整域（UFD）定義 2.2・多項式環と体の拡大

これを使っている定理証明で参照している 3 件

互いに素な 2 つの関数の共通零点を越える延長✓命題 9.5・複素多様体と正則写像
有理型関数の既約表示✓補題 9.7・複素多様体と正則写像
因子と直線束の対応✓定理 6.2・正則ベクトル束・Chern 接続・直線束と因子

解析的超曲面の局所的な構造

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件