数学 › 可換環論 › Noether 環と Artin 環

Noether 性の遺伝

系 4.1（「Noether 環と Artin 環」§4） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
• 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
• ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
• ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
• 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

  • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

    • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環

    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環

これを使っている定理 証明で参照している 27 件

• アフィン空間は Noether 位相空間✓補題 3.3・アフィン代数多様体と座標環
• アフィン多様体の次元✓定理 7.2・アフィン代数多様体と座標環
• Noether スキーム✓命題 2.3・スキームの性質と射
• CM 環上の多項式環✓定理 4.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• Artin–Rees の補題✓定理 4.3・完備化と Artin–Rees の補題
• 完備化の Noether 性と局所性✓定理 6.6・完備化と Artin–Rees の補題
• Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
• 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 分離拡大での整閉包の有限性✓命題 6.4・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
• 純非分離拡大での整閉包の有限性✓補題 6.6・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
• 体上有限生成整域の正規化の有限性✓定理 6.7・Noether の正規化と Hilbert の零点定理
• Jacobi 判定法✓定理 9.4・Kähler 微分と滑らかさの入口
• イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理
• 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
• Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
• 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理
• 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理
• 多項式環の次元✓定理 6.2・Krull 次元と単項イデアル定理
• 多変数多項式環の次元✓系 6.3・Krull 次元と単項イデアル定理
• 体上有限生成代数は鎖状✓系 7.5・Krull 次元と単項イデアル定理
• 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル
• 準素分解と局所化✓命題 5.6・準素分解と随伴素イデアル
• 𝒪ₙ は Noether な局所環で UFD✓定理 9.2・複素多様体と正則写像

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 29 問