数学 › 可換環論 › 次数環と Hilbert–Samuel 多項式
次元定理
を Noether 局所環とする。このとき
である。さらに は、随伴次数環 の Hilbert 級数の での極の位数に等しい。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 95 件、定義なども含めて 111 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- δ(A) とパラメータ系定義 5.1・Krull 次元と単項イデアル定理
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
- 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環 この先をたどる →
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大 この先をたどる →
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環 この先をたどる →
剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
- 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
- (1 − t) の負冪の展開✓補題 4.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
これを使っている定理 証明で参照している 4 件
- パラメータイデアルの重複度と CM 性✓定理 5.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則性と随伴次数環✓定理 6.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 零因子でない元で割ったときの次元✓系 6.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 完備化と次元✓系 6.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式