数学 › 可換環論 › Noether 環と Artin 環

加群の同型定理と対応定理

補題 2.1（「Noether 環と Artin 環」§2） ・ ✓公理まで証明済み

AA を環、MM を AA 加群とする。

  1. （第二同型定理）部分加群 N,L⊆MN, L \subseteq M について (N+L)/L≅N/(N∩L)(N + L)/L \cong N/(N \cap L)。
  2. （対応定理）部分加群 L⊆ML \subseteq M と自然な全射 π ⁣:M→M/L\pi \colon M \to M/L について、N↦N/L=π(N)N \mapsto N/L = \pi(N) は「LL を含む MM の部分加群全体」から「M/LM/L の部分加群全体」への、包含関係を両方向に保つ全単射で、逆写像は Nˉ↦π−1(Nˉ)\bar N \mapsto \pi^{-1}(\bar N) である。
  3. （第三同型定理）部分加群 L⊆N⊆ML \subseteq N \subseteq M について (M/L)/(N/L)≅M/N(M/L)/(N/L) \cong M/N。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 11 件