素フィルトレーション

定理 3.1（「準素分解と随伴素イデアル」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群とする。

部分加群の列 $0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M$ で、各 $i$ について $M_i/M_{i-1} \cong A/\mathfrak{p}_i$ （ $\mathfrak{p}_i$ は素イデアル）となるものが存在する（素フィルトレーション）。
任意のそのような列について $\operatorname{Ass}(M) \subseteq \{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n\} \subseteq \operatorname{Supp}(M)$ である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル