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剰余環

定理 4.2（「イデアルと剰余環」§4） ・ ✓公理まで証明済み

RR を環、II を RR の両側イデアルとする。商集合 R/IR/I 上の二項演算を

(a+I)+(b+I):=(a+b)+I,(a+I)(b+I):=ab+I(a + I) + (b + I) := (a+b) + I, \qquad (a+I)(b+I) := ab + I

によって定めると、これらは代表元の取り方によらずに定まる。さらに R/IR/I はこれらの演算で環になり、零元は 0+I=I0 + I = I、単位元は 1+I1 + I、a+Ia+I の加法逆元は (−a)+I(-a) + I である。写像 π ⁣:R→R/I\pi \colon R \to R/I、π(a)=a+I\pi(a) = a + I は全射環準同型であり ker⁡π=I\ker \pi = I を満たす。RR が可換ならば R/IR/I も可換である。この R/IR/I を RR の II による剰余環（商環）といい、π\pi を自然な全射という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

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