代数学 100 本ノック
学部100 問。全問無料です。
対象読者: 本テーマの群・環・体の基礎から、ガロア理論・群の作用・有限群の表現・加群・Clifford 代数まで、各章の内容を学んだ学部生。章ごとの定義と定理を仮定します。
執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12
読み込んでいます…
この冊について（出典・構成・使う定理）
主な参考文献
- D. S. Dummit, R. M. Foote, Abstract Algebra
- M. Artin, Algebra
- 松坂和夫『代数系入門』
- 雪江明彦『代数学 1 群論入門』『代数学 2 環と体とガロア理論』
問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。
構成
- 1〜9: 群の定義・対称群・元の位数
- 10〜17: 部分群・剰余類・ラグランジュの定理
- 18〜24: 正規部分群と商群
- 25〜33: 群の準同型定理
- 34〜41: 環と体の基礎
- 42〜50: イデアルと剰余環
- 51〜60: 多項式環と体の拡大
- 61〜68: ガロア理論への招待
- 69〜78: 群の作用と Sylow の定理
- 79〜87: 有限群の表現
- 88〜95: 加群と PID 上の構造定理
- 96〜100: 外積代数・Clifford 代数・超代数
形式: 単一選択 34・複数選択 16・○× 12・数値 15・並べ替え 7・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 17 / 55 / 26 / 2。
この冊で使う定義・定理（156）
- 定義 5.1 Berezin 積分 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 98, 100 番
- 定義 5.3 Pfaffian 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 97, 100 番
- 定義 2.1 超代数 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 98 番
- 例 3.3 小さな実 Clifford 代数 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 96 番
- 命題 5.4 完全マッチングによる表示 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 97, 99 番
- 定理 3.2 Clifford 代数の存在・基底・普遍性 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 96, 98 番
- 定理 4.2 複素 Clifford 代数の構造 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 99 番
- 定理 4.4 Pauli の基本定理 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 96, 99 番
- 定理 5.5 Pfaffian の変換則 外積代数・Clifford 代数・超代数：γ 行列の一意性・荷電共役・Berezin 積分と Pfaffian → 99, 100 番
- 定義 3.1 自己同型群・ガロア拡大・ガロア群 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 61, 64, 67 番
- 例 4.3 Q(√2, √3) のガロア対応を全部書き下す ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 62 番
- 例 3.4 対称性が足りない拡大 Q(∛2) ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 61 番
- 例 5.3 S₄ の可解列と「3 次分解方程式」の正体 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 65 番
- 例 3.3 2 次拡大 Q(√2) のガロア群 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 61 番
- 補題 3.2 自己同型は根を置換する ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 62 番
- 命題 6.5 x⁵ - 4x + 2 のガロア群は S₅ ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 65 番
- 命題 2.3 次数の連鎖律 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 66 番
- 注意 6.7 「解けない」の意味を取り違えないために ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 65, 68 番
- 定理 6.2 アーベル–ルフィニの定理 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 68 番
- 定理 4.1 ガロア理論の基本定理 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 62, 63, 64, 67 番
- 定理 5.4 ガロアの可解性判定 ガロア理論への招待：方程式の対称性が「解の公式」の有無を決める → 65, 68 番
- 系 3.4 位数 p² の群はアーベル群 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 76, 78 番
- 系 6.3 位数 pq の群は可解 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 76 番
- 定義 2.1 群の作用 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 69 番
- 例 4.7 A₄ で Sylow の定理を確かめる 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 72, 73 番
- 例 2.3 代表的な作用 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 69, 70 番
- 例 2.6 首飾りの数え上げ 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 71 番
- 例 5.6 位数 pq の群の例 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 75 番
- 演習 7.3 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 73 番
- 命題 5.1 内部直積 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 78 番
- 命題 5.3 半直積の認識 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 77 番
- 定理 2.5 バーンサイドの補題 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 71, 86 番
- 定理 3.1 類等式 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 72, 80 番
- 定理 2.4 軌道・安定化群の公式 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 70, 72, 86 番
- 定理 5.5 位数 pq の群 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 75, 76 番
- 定理 4.2 Sylow の第 1 定理（存在） 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 74 番
- 定理 4.5 Sylow の第 3 定理（個数） 群の作用と Sylow の定理：数え上げで群の構造を決める → 73, 74, 75, 76, 77, 78 番
- 系 4.2 可換群の既約表現は 1 次元 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 81 番
- 系 5.4 重複度の公式 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 82, 83, 87 番
- 定義 2.1 表現・部分表現・既約表現 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 79, 85 番
- 例 2.2 基本的な表現 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 79, 83 番
- 例 6.3 S₃ の指標表 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 83, 84, 87 番
- 命題 5.2 指標の基本性質 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 82 番
- 注意 3.3 標数が群の位数を割る場合 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 81 番
- 定理 5.3 既約指標の直交関係 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 84 番
- 定理 3.1 Maschke の定理 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 85 番
- 定理 6.1 既約表現の個数 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 80, 82, 84, 87 番
- 定理 6.2 正則表現の分解 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 80 番
- 定理 4.1 Schur の補題 有限群の表現：Maschke・Schur・指標の直交関係 → 81 番
- 系 3.3 演算表はラテン方陣 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 2 番
- 定義 3.1 群・アーベル群 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 1, 2, 3, 6 番
- 定義 6.1 元の位数 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 5, 7, 8, 9, 26 番
- 定義 5.2 置換と対称群 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 4 番
- 例 4.3 一般線形群 GL(2,R) 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 3 番
- 例 6.7 位数 4 の群：巡回群とクラインの四元群 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 17, 67 番
- 例 4.1 数の集合がつくる群と、群にならない例 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 1 番
- 例 5.4 3 次対称群の演算表 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 4 番
- 命題 6.5 巡回群の構造 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 8 番
- 命題 3.2 群の基本性質 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 2, 9 番
- 命題 7.5 左単位元と左逆元だけで十分 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 6 番
- 定理 6.3 位数による冪の判定 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 5, 7, 8 番
- 定理 5.3 対称群の位数と非可換性 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 5 番
- 定理 5.1 対称群 群論入門：群の公理と、対称性を計算するための言葉 → 11 番
- 系 5.2 位数の分解 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 28, 29, 33 番
- 系 7.2 第三同型定理 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 32 番
- 定義 3.1 群準同型写像 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 25, 26 番
- 定義 4.1 核と像 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 27, 28 番
- 例 3.4 準同型の見本帳と、準同型でない写像 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 25 番
- 例 6.1 巡回群の分類 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 26 番
- 例 6.2 一般線形群を特殊線形群で割ると何になるか 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 29 番
- 演習 8.1 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 30 番
- 補題 4.3 ファイバーは核の左剰余類 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 31, 33 番
- 命題 3.3 準同型の基本性質 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 25, 30 番
- 命題 4.4 単射性の判定 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 30, 31 番
- 命題 4.2 核と像の基本性質 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 30 番
- 注意 4.5 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 33 番
- 注意 7.3 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 32 番
- 定理 5.1 準同型定理（第一同型定理） 群の準同型定理：核で潰した商が像と同型になる仕組み → 27, 28, 29, 31, 32 番
- 系 6.4 極大イデアルは素イデアル イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 45 番
- 定義 3.4 生成されるイデアルと単項イデアル イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 43 番
- 定義 3.1 左イデアル・右イデアル・両側イデアル イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 42, 50 番
- 定義 6.1 素イデアルと極大イデアル イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 45, 48 番
- 例 3.5 イデアルの例と、イデアルでない例 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 42 番
- 演習 8.1 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 43, 50 番
- 補題 3.3 単元を含むイデアル イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 48, 50 番
- 命題 3.2 イデアルの判定条件 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 42 番
- 命題 7.2 整数環と多項式環は単項イデアル整域 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 43, 44, 46 番
- 命題 6.2 素イデアルと整域 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 45, 47 番
- 注意 5.3 対応定理 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 44, 47 番
- 定理 5.1 環の準同型定理（第一同型定理） イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 49 番
- 定理 6.3 極大イデアルと体 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 45, 46, 47, 48 番
- 定理 4.2 剰余環 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 44 番
- 系 6.1 有限生成アーベル群の基本定理 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 89, 91 番
- 定義 2.1 加群 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 88, 94 番
- 例 2.2 加群の例 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 88 番
- 例 7.6 冪零行列の相似類 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 92 番
- 例 4.2 整数行列のスミス標準形 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 93 番
- 演習 8.3 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 88, 94 番
- 命題 2.4 中国剰余定理 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 38, 90, 91 番
- 命題 5.2 素冪因子形 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 90, 95 番
- 命題 7.1 相似と加群の同型 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 92 番
- 定理 7.5 ジョルダン標準形（構造定理から） 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 95 番
- 定理 7.2 有理標準形 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 92 番
- 定理 4.1 スミス標準形 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 93 番
- 定理 5.1 PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形） 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 90, 92, 93 番
- 定理 5.3 構造定理の一意性 加群と PID 上の構造定理：アーベル群の分類とジョルダン標準形を一つの定理で → 89, 91 番
- 系 6.3 代数的な元の全体は体をなす 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 58 番
- 定義 2.1 既約元と素元 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 51, 56 番
- 定義 3.1 原始多項式 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 55 番
- 定義 2.2 一意分解整域（UFD） 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 51 番
- 例 4.2 アイゼンシュタインの判定法の使い方 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 52, 53, 66 番
- 例 2.6 UFD でない整域：Z[√−5] 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 54 番
- 演習 9.1 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 54 番
- 補題 2.4 PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 46 番
- 補題 2.3 一意性と素元 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 54 番
- 命題 6.2 代数的な元による単拡大 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 53, 60, 66 番
- 命題 6.1 次数の連鎖律 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 53, 57, 58, 60 番
- 定理 4.1 アイゼンシュタインの判定法 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 52 番
- 定理 7.2 有限体の存在と一意性 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 56, 59 番
- 定理 3.4 ガウスの補題 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 55 番
- 定理 3.5 R が UFD なら R[x] も UFD 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 54 番
- 定義 4.1 正規部分群 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 18, 19, 21, 24 番
- 例 7.1 対称群・一般線型群・実数直線の商 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 22 番
- 例 4.3 正規部分群の代表例 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 19 番
- 例 3.1 3 次対称群で代表元の積が破綻する 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 18 番
- 例 6.2 Z/nZ の元とその位数 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 20, 23 番
- 命題 4.2 正規性の判定法 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 18, 19, 24 番
- 注意 4.4 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 22 番
- 注意 5.4 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 23 番
- 定理 3.2 剰余類の積が定まるための必要十分条件 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 21 番
- 定理 5.1 商群 正規部分群と商群：剰余類に演算を入れるための条件 → 21, 22, 23 番
- 系 5.5 Z/nZ が体になる条件 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 35 番
- 定義 5.7 標数 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 40 番
- 定義 5.1 体 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 35, 39 番
- 定義 4.3 整域 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 34, 36, 39 番
- 定義 3.1 環 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 41 番
- 定義 4.1 単元と零因子 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 37, 38 番
- 例 4.5 整域である例・ない例 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 36 番
- 例 7.4 代入写像とその核 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 49 番
- 例 6.4 2 次実正方行列環 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 36 番
- 例 3.6 剰余環 Z/nZ 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 35, 37, 40 番
- 命題 3.3 環の基本計算則 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 34, 41 番
- 命題 4.2 単元群 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 37 番
- 定理 5.2 体は整域 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 34, 38 番
- 定理 5.3 有限整域は体 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 34, 39, 47 番
- 定理 6.2 多項式環の次数・整域性・単元 環と体の基礎：加法と乗法が同居する構造を整域・体まで分類する → 36 番
- 系 7.1 元の位数は群の位数を割る 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 12, 13, 15, 17 番
- 系 7.2 素数位数の群 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 14 番
- 定義 5.4 指数 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 14, 16 番
- 定義 3.1 部分群 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 10, 11 番
- 例 3.5 Z の部分群はすべて nZ の形 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 10 番
- 命題 8.1 ラグランジュの定理の逆の反例 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 14 番
- 命題 4.2 元の位数と巡回部分群の大きさ 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 15 番
- 命題 3.3 部分群の判定法 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 3, 10, 11 番
- 定理 7.3 オイラーの定理とフェルマーの小定理 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 12 番
- 定理 6.1 ラグランジュの定理 部分群と剰余類：ラグランジュの定理はなぜ「割り切れる」を生むのか → 13, 14, 15, 16, 17, 20, 33 番
運営: 夢現技研合同会社 ・料金 ・利用条件 ・特定商取引法に基づく表記