正方形や正三角形を回したり裏返したりする操作の集まりは「群」ですが、そのままでは計算しにくい対象です。そこで各操作を行列に置き換えると、足し算や固有値といった線形代数の道具で調べられるようになります。この記事では、そうして得た行列の集まりを、これ以上分けられない小さな部品に分解できること、そして部品の種類と個数が「トレースの表」で数えられることを示します。読み終えると、S 3 S_3 S 3
有限群 G G G 表現 とは、G G G G L ( V ) \mathrm{GL}(V) GL ( V )
Maschke の定理 ：不変部分空間には必ず不変な補空間があり、したがってすべての表現は既約表現の直和に分解します。証明は「射影を群全体で平均する」だけです。Schur の補題 ：既約表現の間の G G G 0 0 0 指標の直交関係 ：表現 ρ \rho ρ χ ρ ( g ) = t r ρ ( g ) \chi_\rho(g) = \mathrm{tr}\,\rho(g) χ ρ ( g ) = tr ρ ( g ) 既約表現（同型を除く）の個数は共役類の個数に等しく、正則表現 は各既約表現 V i V_i V i dim V i \dim V_i dim V i ∣ G ∣ = ∑ i ( dim V i ) 2 |G| = \sum_i (\dim V_i)^2 ∣ G ∣ = ∑ i ( dim V i ) 2
具体例として S 3 S_3 S 3
群の作用 : 群の元が集合の点を置換する仕組み。→ 群の作用 共役類 : h g h − 1 hgh^{-1} h g h − 1 群の作用と Sylow の定理 線形写像 : 和とスカラー倍を保つ写像。行列はその表し方です。→ 線形写像 トレース : 正方行列の対角成分の和。相似 : 基底を取り替えて P − 1 A P P^{-1}AP P − 1 A P 相似 正規直交基底 : 長さ 1 で互いに直交するベクトルからなる基底。→ 正規直交基底 群の作用 では、群が集合を置換することを調べました。ここで X X X X X X X X X C X \mathbb{C}^X C X 線形写像 （置換行列）になります。置換が線形写像になった途端に、固有値や対角化といった線形代数の道具が使えます。群 G G G
動機をもう一つ。巡回群 Z / n Z \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Z / n Z 例 6.4 ）。フーリエ解析が「平行移動で不変な演算子を、固有ベクトル（指数関数）で対角化する」ことだったように、一般の有限群の表現論は「群の対称性を持つ演算子を、既約表現の成分に分解する」ことです。物理では、対称性を持つ系のハミルトニアンの縮退度が既約表現の次元で決まります。コンパクト群 の理論は、この記事の議論の和 1 ∣ G ∣ ∑ g \frac{1}{|G|}\sum_g ∣ G ∣ 1 ∑ g ハール測度 による積分に置き換えたものです。
以下、特に断らない限り G G G ベクトル空間 は有限次元の複素ベクトル空間とします。
定義 2.1 （表現・部分表現・既約表現 ） ↗
有限次元複素ベクトル空間 V V V ρ : G → G L ( V ) \rho : G \to \mathrm{GL}(V) ρ : G → GL ( V ) ( ρ , V ) (\rho, V) ( ρ , V ) G G G 表現 といい、dim V \dim V dim V 次元 という。ρ ( g ) v \rho(g)v ρ ( g ) v g ⋅ v g \cdot v g ⋅ v
部分空間 W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V 不変 （G G G g ∈ G g \in G g ∈ G ρ ( g ) W ⊆ W \rho(g)W \subseteq W ρ ( g ) W ⊆ W ρ \rho ρ W W W W W W 部分表現 という。
V ≠ 0 V \ne 0 V = 0 V V V 既約 であるとは、不変部分空間が 0 0 0 V V V 表現 V , W V, W V , W f : V → W f : V \to W f : V → W G G G 準同型 （絡作用素）であるとは、すべての g g g f ( ρ V ( g ) v ) = ρ W ( g ) f ( v ) f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v) f ( ρ V ( g ) v ) = ρ W ( g ) f ( v ) G G G H o m G ( V , W ) \mathrm{Hom}_G(V, W) Hom G ( V , W ) G G G V V V W W W 同型 （V ≅ W V \cong W V ≅ W
表現 V , W V, W V , W 直和 V ⊕ W V \oplus W V ⊕ W ρ ( g ) ( v , w ) = ( ρ V ( g ) v , ρ W ( g ) w ) \rho(g)(v, w) = (\rho_V(g)v, \rho_W(g)w) ρ ( g ) ( v , w ) = ( ρ V ( g ) v , ρ W ( g ) w )
f ∈ H o m G ( V , W ) f \in \mathrm{Hom}_G(V, W) f ∈ Hom G ( V , W ) ker f \ker f ker f V V V I m f \mathrm{Im} f Im f W W W f ( v ) = 0 f(v) = 0 f ( v ) = 0 f ( g ⋅ v ) = g ⋅ f ( v ) = 0 f(g \cdot v) = g \cdot f(v) = 0 f ( g ⋅ v ) = g ⋅ f ( v ) = 0 w = f ( v ) w = f(v) w = f ( v ) g ⋅ w = f ( g ⋅ v ) g \cdot w = f(g \cdot v) g ⋅ w = f ( g ⋅ v )
例 2.2 （基本的な表現 ）
自明な表現。 ρ ( g ) = 1 \rho(g) = 1 ρ ( g ) = 1 V = C V = \mathbb{C} V = C 符号表現。 s g n : S n → { ± 1 } ⊂ C × \mathrm{sgn} : S_n \to \{\pm 1\} \subset \mathbb{C}^{\times} sgn : S n → { ± 1 } ⊂ C × 定義 2.1［行列式とその性質］ の置換の符号）。巡回群の 1 次元表現。 G = Z / n Z G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} G = Z / n Z ζ = e 2 π i / n \zeta = e^{2\pi i/n} ζ = e 2 π i / n ρ j ( k ) = ζ j k \rho_j(k) = \zeta^{jk} ρ j ( k ) = ζ j k j = 0 , 1 , … , n − 1 j = 0, 1, \ldots, n-1 j = 0 , 1 , … , n − 1 n n n 置換表現。 G G G X X X 定義 2.1［群の作用と Sylow の定理］ ）とき、X X X C X \mathbb{C}^X C X ρ ( g ) e x = e g ⋅ x \rho(g)e_x = e_{g \cdot x} ρ ( g ) e x = e g ⋅ x G G G 命題 2.2［群の作用と Sylow の定理］ の準同型 G → S y m ( X ) G \to \mathrm{Sym}(X) G → Sym ( X ) X = G X = G X = G 正則表現 ( ρ r e g , C G ) (\rho_{\mathrm{reg}}, \mathbb{C}^G) ( ρ reg , C G ) S 3 S_3 S 3 S 3 S_3 S 3 { 1 , 2 , 3 } \{1,2,3\} { 1 , 2 , 3 } C 3 \mathbb{C}^3 C 3 L = C ( e 1 + e 2 + e 3 ) L = \mathbb{C}(e_1 + e_2 + e_3) L = C ( e 1 + e 2 + e 3 ) W = { x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0 } W = \{ x_1e_1 + x_2e_2 + x_3e_3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \} W = { x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 : x 1 + x 2 + x 3 = 0 } C 3 = L ⊕ W \mathbb{C}^3 = L \oplus W C 3 = L ⊕ W W W W 例 6.3 で確かめます。 一般の線形変換では、不変部分空間に不変な補空間があるとは限りません。たとえば ( 1 1 0 1 ) \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix} ( 1 0 1 1 ) C e 1 \mathbb{C}e_1 C e 1
ここでの方針は次のとおりです。まず群の作用を無視して、補空間を一つ適当に選び、そこから W W W ∣ G ∣ |G| ∣ G ∣
定理 3.1 （Maschke の定理 ） ✓
( ρ , V ) (\rho, V) ( ρ , V ) G G G W ⊆ V W \subseteq V W ⊆ V W ′ W' W ′ V = W ⊕ W ′ V = W \oplus W' V = W ⊕ W ′
証明（定理 3.1） 線形空間として V = W ⊕ U V = W \oplus U V = W ⊕ U U U U W W W π 0 : V → W \pi_0 : V \to W π 0 : V → W π 0 ∣ W = i d W \pi_0|_W = \mathrm{id}_W π 0 ∣ W = id W π 0 ∣ U = 0 \pi_0|_U = 0 π 0 ∣ U = 0
π = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G ρ ( g ) π 0 ρ ( g ) − 1 . \pi = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \rho(g)\,\pi_0\,\rho(g)^{-1}. π = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ ρ ( g ) π 0 ρ ( g ) − 1 .
π ( V ) ⊆ W \pi(V) \subseteq W π ( V ) ⊆ W π 0 \pi_0 π 0 W W W W W W W W W w ∈ W w \in W w ∈ W π ( w ) = w \pi(w) = w π ( w ) = w ρ ( g ) − 1 w ∈ W \rho(g)^{-1}w \in W ρ ( g ) − 1 w ∈ W π 0 ρ ( g ) − 1 w = ρ ( g ) − 1 w \pi_0\rho(g)^{-1}w = \rho(g)^{-1}w π 0 ρ ( g ) − 1 w = ρ ( g ) − 1 w w w w π ∘ ρ ( h ) = ρ ( h ) ∘ π \pi \circ \rho(h) = \rho(h) \circ \pi π ∘ ρ ( h ) = ρ ( h ) ∘ π ρ ( h ) π ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ g ρ ( h g ) π 0 ρ ( h g ) − 1 = π \rho(h)\pi\rho(h)^{-1} = \frac{1}{|G|}\sum_g \rho(hg)\pi_0\rho(hg)^{-1} = \pi ρ ( h ) π ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 ∑ g ρ ( h g ) π 0 ρ ( h g ) − 1 = π g ↦ h g g \mapsto hg g ↦ h g G G G よって π \pi π W W W W ′ = ker π W' = \ker\pi W ′ = ker π V = W ⊕ W ′ V = W \oplus W' V = W ⊕ W ′ v ∈ W ′ v \in W' v ∈ W ′ π ( ρ ( h ) v ) = ρ ( h ) π ( v ) = 0 \pi(\rho(h)v) = \rho(h)\pi(v) = 0 π ( ρ ( h ) v ) = ρ ( h ) π ( v ) = 0 W ′ W' W ′
∎ 系 3.2 （完全可約性 ） ✓
有限群のすべての表現 V V V V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V k V = V_1 \oplus \cdots \oplus V_k V = V 1 ⊕ ⋯ ⊕ V k
証明（系 3.2） dim V \dim V dim V V = 0 V = 0 V = 0 V V V k = 1 k = 1 k = 1 V ≠ 0 V \ne 0 V = 0 W W W 定理 3.1 により V = W ⊕ W ′ V = W \oplus W' V = W ⊕ W ′ W , W ′ W, W' W , W ′ V V V W , W ′ W, W' W , W ′ V V V
∎ 既約表現は「これ以上小さく分けられない部品」でした。部品どうしを群の作用と合う線形写像で結ぶと、その写像は零写像か同型写像のどちらかしかなく、同じ部品どうしならスカラー倍に限られます。部品の間に余計な写像がほとんど存在しないという、この硬さが、以降の指標の計算を可能にします。
定理 4.1 （Schur の補題 ） ✓
V , W V, W V , W G G G f ∈ H o m G ( V , W ) f \in \mathrm{Hom}_G(V, W) f ∈ Hom G ( V , W )
f = 0 f = 0 f = 0 f f f V = W V = W V = W f f f f = λ i d V f = \lambda\,\mathrm{id}_V f = λ id V λ ∈ C \lambda \in \mathbb{C} λ ∈ C 証明（定理 4.1） (1) ker f \ker f ker f V V V V V V 0 0 0 V V V ker f = V \ker f = V ker f = V f = 0 f = 0 f = 0 ker f = 0 \ker f = 0 ker f = 0 f f f I m f \mathrm{Im} f Im f W W W f ≠ 0 f \ne 0 f = 0 I m f ≠ 0 \mathrm{Im} f \ne 0 Im f = 0 W W W I m f = W \mathrm{Im} f = W Im f = W f f f
(2) 複素数体は代数閉体で V ≠ 0 V \ne 0 V = 0 f f f λ \lambda λ 系 4.6［固有値と固有ベクトル］ ）。f − λ i d V f - \lambda\,\mathrm{id}_V f − λ id V G G G 0 0 0 0 0 0 f = λ i d V f = \lambda\,\mathrm{id}_V f = λ id V
∎ 系 4.2 （可換群の既約表現は 1 次元 ） ✓
G G G G G G
証明（系 4.2） ( ρ , V ) (\rho, V) ( ρ , V ) h ∈ G h \in G h ∈ G ρ ( h ) \rho(h) ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) = ρ ( g h ) = ρ ( h g ) = ρ ( h ) ρ ( g ) \rho(g)\rho(h) = \rho(gh) = \rho(hg) = \rho(h)\rho(g) ρ ( g ) ρ ( h ) = ρ ( g h ) = ρ ( h g ) = ρ ( h ) ρ ( g ) G G G V → V V \to V V → V 定理 4.1 (2) により ρ ( h ) \rho(h) ρ ( h ) V V V dim V = 1 \dim V = 1 dim V = 1
∎ したがって Z / n Z \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Z / n Z 例 2.2 (3) の n n n ρ j \rho_j ρ j ρ ( 1 ) = λ \rho(1) = \lambda ρ ( 1 ) = λ λ n = 1 \lambda^n = 1 λ n = 1
Schur の補題の使い方は、「任意の線形写像を群で平均して G G G
補題 4.3 （平均化と Schur の補題 ） ✓
( ρ , V ) , ( σ , W ) (\rho, V), (\sigma, W) ( ρ , V ) , ( σ , W ) G G G T : V → W T : V \to W T : V → W
T G = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G σ ( g ) T ρ ( g ) − 1 T^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \sigma(g)\,T\,\rho(g)^{-1} T G = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ σ ( g ) T ρ ( g ) − 1 とおく。すると T G ∈ H o m G ( V , W ) T^G \in \mathrm{Hom}_G(V, W) T G ∈ Hom G ( V , W )
V ≇ W V \not\cong W V ≅ W T G = 0 T^G = 0 T G = 0 V = W V = W V = W σ = ρ \sigma = \rho σ = ρ T G = t r T dim V i d V T^G = \dfrac{\mathrm{tr}\,T}{\dim V}\,\mathrm{id}_V T G = dim V tr T id V 証明（補題 4.3） σ ( h ) T G ρ ( h ) − 1 = 1 ∣ G ∣ ∑ g σ ( h g ) T ρ ( h g ) − 1 = T G \sigma(h)T^G\rho(h)^{-1} = \frac{1}{|G|}\sum_g \sigma(hg)T\rho(hg)^{-1} = T^G σ ( h ) T G ρ ( h ) − 1 = ∣ G ∣ 1 ∑ g σ ( h g ) T ρ ( h g ) − 1 = T G T G T^G T G G G G V ≇ W V \not\cong W V ≅ W 定理 4.1 (1) から T G = 0 T^G = 0 T G = 0 V = W V = W V = W T G = λ i d T^G = \lambda\,\mathrm{id} T G = λ id λ dim V = t r T G = 1 ∣ G ∣ ∑ g t r ( ρ ( g ) T ρ ( g ) − 1 ) = t r T \lambda \dim V = \mathrm{tr}\,T^G = \frac{1}{|G|}\sum_g \mathrm{tr}(\rho(g)T\rho(g)^{-1}) = \mathrm{tr}\,T λ dim V = tr T G = ∣ G ∣ 1 ∑ g tr ( ρ ( g ) T ρ ( g ) − 1 ) = tr T 定理 4.4［固有値と固有ベクトル］ ）。
∎ 定義 5.1 （指標 ） ↗
表現 ( ρ , V ) (\rho, V) ( ρ , V ) 指標 とは、関数 χ ρ : G → C \chi_\rho : G \to \mathbb{C} χ ρ : G → C χ ρ ( g ) = t r ρ ( g ) \chi_\rho(g) = \mathrm{tr}\,\rho(g) χ ρ ( g ) = tr ρ ( g ) f : G → C f : G \to \mathbb{C} f : G → C 類関数 であるとは、共役で不変（f ( h g h − 1 ) = f ( g ) f(hgh^{-1}) = f(g) f ( h g h − 1 ) = f ( g ) α , β \alpha, \beta α , β
⟨ α , β ⟩ = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∈ G α ( g ) β ( g ) ‾ \langle \alpha, \beta \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \alpha(g)\,\overline{\beta(g)} ⟨ α , β ⟩ = ∣ G ∣ 1 g ∈ G ∑ α ( g ) β ( g ) とおく。これは類関数全体の上のエルミート内積である。
命題 5.2 （指標の基本性質 ） ✓
表現 V , W V, W V , W
χ V ( e ) = dim V \chi_V(e) = \dim V χ V ( e ) = dim V χ V \chi_V χ V χ V ⊕ W = χ V + χ W \chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W χ V ⊕ W = χ V + χ W V ≅ W V \cong W V ≅ W χ V = χ W \chi_V = \chi_W χ V = χ W χ V ( g − 1 ) = χ V ( g ) ‾ \chi_V(g^{-1}) = \overline{\chi_V(g)} χ V ( g − 1 ) = χ V ( g ) 証明（命題 5.2） (1) ρ ( e ) = i d \rho(e) = \mathrm{id} ρ ( e ) = id dim V \dim V dim V χ ( h g h − 1 ) = t r ( ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ) = t r ρ ( g ) \chi(hgh^{-1}) = \mathrm{tr}(\rho(h)\rho(g)\rho(h)^{-1}) = \mathrm{tr}\,\rho(g) χ ( h g h − 1 ) = tr ( ρ ( h ) ρ ( g ) ρ ( h ) − 1 ) = tr ρ ( g ) 定理 4.4［固有値と固有ベクトル］ ）。(3) 任意の内積 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 0 \langle \cdot,\cdot \rangle_0 ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ 0 ⟨ v , w ⟩ = ∑ g ⟨ ρ ( g ) v , ρ ( g ) w ⟩ 0 \langle v, w \rangle = \sum_g \langle \rho(g)v, \rho(g)w \rangle_0 ⟨ v , w ⟩ = ∑ g ⟨ ρ ( g ) v , ρ ( g ) w ⟩ 0 G G G 定義 3.1［内積空間とグラム・シュミット直交化］ ）。正規直交基底を取ると（系 6.2［内積空間とグラム・シュミット直交化］ ）、ρ ( g ) \rho(g) ρ ( g ) U U U ρ ( g − 1 ) = U − 1 = U ∗ \rho(g^{-1}) = U^{-1} = U^{*} ρ ( g − 1 ) = U − 1 = U ∗ t r U ∗ = t r U ‾ \mathrm{tr}\,U^{*} = \overline{\mathrm{tr}\,U} tr U ∗ = tr U
∎ (3) により、類関数の内積は ⟨ χ , ψ ⟩ = 1 ∣ G ∣ ∑ g χ ( g ) ψ ( g − 1 ) \langle \chi, \psi \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g \chi(g)\psi(g^{-1}) ⟨ χ , ψ ⟩ = ∣ G ∣ 1 ∑ g χ ( g ) ψ ( g − 1 )
定理 5.3 （既約指標の直交関係 ） ✓
( ρ , V ) , ( σ , W ) (\rho, V), (\sigma, W) ( ρ , V ) , ( σ , W ) G G G
⟨ χ ρ , χ σ ⟩ = { 1 ( V ≅ W ) 0 ( V ≇ W ) \langle \chi_\rho, \chi_\sigma \rangle = \begin{cases} 1 & (V \cong W) \\ 0 & (V \not\cong W) \end{cases} ⟨ χ ρ , χ σ ⟩ = { 1 0 ( V ≅ W ) ( V ≅ W ) が成り立つ。
次の証明の方針です。指標はトレース、つまり行列の対角成分の和なので、成分ごとに分けて考えます。各成分は、ある一つの行列 E i k E_{ik} E ik 0 0 0 1 / n 1/n 1/ n
証明（定理 5.3） n = dim V n = \dim V n = dim V m = dim W m = \dim W m = dim W V , W V, W V , W ρ ( g ) , σ ( g ) \rho(g), \sigma(g) ρ ( g ) , σ ( g ) 命題 5.2 (3) により
⟨ χ ρ , χ σ ⟩ = 1 ∣ G ∣ ∑ g χ ρ ( g ) χ σ ( g − 1 ) = ∑ i = 1 n ∑ k = 1 m 1 ∣ G ∣ ∑ g ρ ( g ) i i σ ( g − 1 ) k k \langle \chi_\rho, \chi_\sigma \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1}) = \sum_{i=1}^{n}\sum_{k=1}^{m} \frac{1}{|G|}\sum_g \rho(g)_{ii}\,\sigma(g^{-1})_{kk} ⟨ χ ρ , χ σ ⟩ = ∣ G ∣ 1 g ∑ χ ρ ( g ) χ σ ( g − 1 ) = i = 1 ∑ n k = 1 ∑ m ∣ G ∣ 1 g ∑ ρ ( g ) ii σ ( g − 1 ) k k です。各 ( i , k ) (i, k) ( i , k ) n × m n \times m n × m T = E i k T = E_{ik} T = E ik ( i , k ) (i,k) ( i , k ) 1 1 1 T : W → V T : W \to V T : W → V 補題 4.3 を、V V V W W W T : W → V T : W \to V T : W → V T G = 1 ∣ G ∣ ∑ g ρ ( g ) T σ ( g ) − 1 T^G = \frac{1}{|G|}\sum_g \rho(g)T\sigma(g)^{-1} T G = ∣ G ∣ 1 ∑ g ρ ( g ) T σ ( g ) − 1 ( i , k ) (i,k) ( i , k )
( T G ) i k = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∑ a , b ρ ( g ) i a T a b σ ( g − 1 ) b k = 1 ∣ G ∣ ∑ g ρ ( g ) i i σ ( g − 1 ) k k (T^G)_{ik} = \frac{1}{|G|}\sum_g \sum_{a,b}\rho(g)_{ia}T_{ab}\,\sigma(g^{-1})_{bk} = \frac{1}{|G|}\sum_g \rho(g)_{ii}\,\sigma(g^{-1})_{kk} ( T G ) ik = ∣ G ∣ 1 g ∑ a , b ∑ ρ ( g ) ia T ab σ ( g − 1 ) bk = ∣ G ∣ 1 g ∑ ρ ( g ) ii σ ( g − 1 ) k k です。V ≇ W V \not\cong W V ≅ W T G = 0 T^G = 0 T G = 0 ( i , k ) (i, k) ( i , k ) 0 0 0 ⟨ χ ρ , χ σ ⟩ = 0 \langle \chi_\rho, \chi_\sigma \rangle = 0 ⟨ χ ρ , χ σ ⟩ = 0
V ≅ W V \cong W V ≅ W 命題 5.2 (2) より指標は等しいので、W W W σ = ρ \sigma = \rho σ = ρ n = m n = m n = m 補題 4.3 (2) より T G = t r E i k n i d = δ i k n i d T^G = \frac{\mathrm{tr}\,E_{ik}}{n}\,\mathrm{id} = \frac{\delta_{ik}}{n}\mathrm{id} T G = n tr E ik id = n δ ik id ( i , k ) (i,k) ( i , k ) δ i k / n \delta_{ik}/n δ ik / n
⟨ χ ρ , χ ρ ⟩ = ∑ i , k δ i k n = ∑ i = 1 n 1 n = 1 \langle \chi_\rho, \chi_\rho \rangle = \sum_{i,k} \frac{\delta_{ik}}{n} = \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n} = 1 ⟨ χ ρ , χ ρ ⟩ = i , k ∑ n δ ik = i = 1 ∑ n n 1 = 1 です。
∎ 系 5.4 （重複度の公式 ） ✓
V 1 , … , V r V_1, \ldots, V_r V 1 , … , V r G G G χ i = χ V i \chi_i = \chi_{V_i} χ i = χ V i V V V V ≅ V 1 m 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r m r V \cong V_1^{m_1} \oplus \cdots \oplus V_r^{m_r} V ≅ V 1 m 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r m r 系 3.2 ）、
m i = ⟨ χ V , χ i ⟩ , ⟨ χ V , χ V ⟩ = ∑ i m i 2 m_i = \langle \chi_V, \chi_i \rangle, \qquad \langle \chi_V, \chi_V \rangle = \sum_{i} m_i^2 m i = ⟨ χ V , χ i ⟩ , ⟨ χ V , χ V ⟩ = i ∑ m i 2 である。したがって m i m_i m i V V V χ V = χ W \chi_V = \chi_W χ V = χ W V ≅ W V \cong W V ≅ W V V V ⟨ χ V , χ V ⟩ = 1 \langle \chi_V, \chi_V \rangle = 1 ⟨ χ V , χ V ⟩ = 1
証明（系 5.4） 命題 5.2 (2) から χ V = ∑ j m j χ j \chi_V = \sum_j m_j\chi_j χ V = ∑ j m j χ j 定理 5.3 から ⟨ χ V , χ i ⟩ = m i \langle \chi_V, \chi_i \rangle = m_i ⟨ χ V , χ i ⟩ = m i ⟨ χ V , χ V ⟩ = ∑ j m j 2 \langle \chi_V, \chi_V \rangle = \sum_j m_j^2 ⟨ χ V , χ V ⟩ = ∑ j m j 2 m i m_i m i ∑ m j 2 = 1 \sum m_j^2 = 1 ∑ m j 2 = 1 m j = 1 m_j = 1 m j = 1 0 0 0
∎ 自明 (1) 符号 (1) 標準 (2) 標準 (2) 1 + 1 + 2 + 2 = 6、1² + 1² + 2² = 6
S₃ の正則表現（6 次元）を適当な基底で見ると、ρ(g) は対角に並ぶブロックになる。ブロックの大きさは既約表現の次元で、1 次元の 2 つ、2 次元の 2 つ 定理 6.1 （既約表現の個数 ） ✓
有限群 G G G G G G χ 1 , … , χ r \chi_1, \ldots, \chi_r χ 1 , … , χ r
次の証明の方針です。既約指標が類関数の空間を張り尽くすことを、背理法に近い形で示します。すべての既約指標と直交する類関数 f f f f f f 0 0 0 e e e_e e e f f f f = 0 f=0 f = 0
証明（定理 6.1） 類関数全体は、各共役類の指示関数を基底に持つので、次元は共役類の個数 h h h 定理 5.3 により正規直交なので一次独立で、r ≤ h r \le h r ≤ h
類関数 f f f χ i \chi_i χ i ⟨ f , χ i ⟩ = 0 \langle f, \chi_i \rangle = 0 ⟨ f , χ i ⟩ = 0 f = 0 f = 0 f = 0 ( ρ , V ) (\rho, V) ( ρ , V )
T = ∑ g ∈ G f ( g ) ‾ ρ ( g ) ∈ E n d ( V ) T = \sum_{g \in G} \overline{f(g)}\,\rho(g) \in \mathrm{End}(V) T = g ∈ G ∑ f ( g ) ρ ( g ) ∈ End ( V ) とおきます。f f f ρ ( h ) T ρ ( h ) − 1 = ∑ g f ( g ) ‾ ρ ( h g h − 1 ) = ∑ g ′ f ( h − 1 g ′ h ) ‾ ρ ( g ′ ) = T \rho(h)T\rho(h)^{-1} = \sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T ρ ( h ) T ρ ( h ) − 1 = ∑ g f ( g ) ρ ( h g h − 1 ) = ∑ g ′ f ( h − 1 g ′ h ) ρ ( g ′ ) = T T T T G G G 定理 4.1 (2) から T = λ i d T = \lambda\,\mathrm{id} T = λ id λ dim V = t r T = ∑ g f ( g ) ‾ χ V ( g ) = ∣ G ∣ ⟨ f , χ V ⟩ ‾ = 0 \lambda\dim V = \mathrm{tr}\,T = \sum_g \overline{f(g)}\chi_V(g) = |G|\,\overline{\langle f, \chi_V \rangle} = 0 λ dim V = tr T = ∑ g f ( g ) χ V ( g ) = ∣ G ∣ ⟨ f , χ V ⟩ = 0 T = 0 T = 0 T = 0 系 3.2 ）でも成り立ちます。そこで正則表現 C G \mathbb{C}^G C G e x e_x e x ρ ( g ) e x = e g x \rho(g)e_x = e_{gx} ρ ( g ) e x = e g x e e e_e e e
0 = ∑ g f ( g ) ‾ ρ ( g ) e e = ∑ g f ( g ) ‾ e g 0 = \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)e_e = \sum_g \overline{f(g)}\,e_g 0 = g ∑ f ( g ) ρ ( g ) e e = g ∑ f ( g ) e g で、e g e_g e g f ( g ) = 0 f(g) = 0 f ( g ) = 0 g g g
∎ 定理 6.2 （正則表現の分解 ） ✓
V 1 , … , V r V_1, \ldots, V_r V 1 , … , V r G G G d i = dim V i d_i = \dim V_i d i = dim V i
C G ≅ V 1 d 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r d r \mathbb{C}^G \cong V_1^{d_1} \oplus \cdots \oplus V_r^{d_r} C G ≅ V 1 d 1 ⊕ ⋯ ⊕ V r d r と分解する。したがって
∣ G ∣ = ∑ i = 1 r d i 2 , ∑ i = 1 r d i χ i ( g ) = 0 ( g ≠ e ) |G| = \sum_{i=1}^{r} d_i^{\,2}, \qquad \sum_{i=1}^{r} d_i\,\chi_i(g) = 0 \quad (g \ne e) ∣ G ∣ = i = 1 ∑ r d i 2 , i = 1 ∑ r d i χ i ( g ) = 0 ( g = e ) が成り立つ。
証明（定理 6.2） 正則表現の指標を計算します。ρ r e g ( g ) e x = e g x \rho_{\mathrm{reg}}(g)e_x = e_{gx} ρ reg ( g ) e x = e g x g x = x gx = x g x = x 1 1 1 g x = x gx = x g x = x g = e g = e g = e χ r e g ( e ) = ∣ G ∣ \chi_{\mathrm{reg}}(e) = |G| χ reg ( e ) = ∣ G ∣ χ r e g ( g ) = 0 \chi_{\mathrm{reg}}(g) = 0 χ reg ( g ) = 0 g ≠ e g \ne e g = e 系 5.4 から V i V_i V i
m i = ⟨ χ r e g , χ i ⟩ = 1 ∣ G ∣ ∣ G ∣ χ i ( e ) ‾ = d i m_i = \langle \chi_{\mathrm{reg}}, \chi_i \rangle = \frac{1}{|G|}\,|G|\,\overline{\chi_i(e)} = d_i m i = ⟨ χ reg , χ i ⟩ = ∣ G ∣ 1 ∣ G ∣ χ i ( e ) = d i です。次元を比べて ∣ G ∣ = dim C G = ∑ d i 2 |G| = \dim\mathbb{C}^G = \sum d_i^2 ∣ G ∣ = dim C G = ∑ d i 2 χ r e g = ∑ d i χ i \chi_{\mathrm{reg}} = \sum d_i\chi_i χ reg = ∑ d i χ i g ≠ e g \ne e g = e 0 = ∑ d i χ i ( g ) 0 = \sum d_i\chi_i(g) 0 = ∑ d i χ i ( g )
∎ これらの結果は、小さな群の指標表を「ほぼ手計算で」決める手がかりを与えます。
共役類の個数 h h h
既約表現の次元 d i d_i d i ∑ d i 2 = ∣ G ∣ \sum d_i^2 = |G| ∑ d i 2 = ∣ G ∣
1 次元の表現（自明表現）が必ず 1 つある。
次の指標表では、各共役類の列は「その類に属する元の個数」を重みとして内積に入ります。たとえば S 3 S_3 S 3
例 6.3 （S₃ の指標表 ）
S 3 S_3 S 3 3 3 3 定理 6.1 から既約表現は 3 3 3 ∑ d i 2 = 6 \sum d_i^2 = 6 ∑ d i 2 = 6 ( d 1 , d 2 , d 3 ) = ( 1 , 1 , 2 ) (d_1, d_2, d_3) = (1, 1, 2) ( d 1 , d 2 , d 3 ) = ( 1 , 1 , 2 ) d i ≥ 3 d_i \ge 3 d i ≥ 3 d i 2 ≥ 9 > 6 d_i^2 \ge 9 > 6 d i 2 ≥ 9 > 6 d i ∈ { 1 , 2 } d_i \in \{1, 2\} d i ∈ { 1 , 2 } 6 6 6 1 + 1 + 4 1 + 1 + 4 1 + 1 + 4
1 次元の既約表現は自明表現と符号表現です。2 次元の既約表現は、置換表現 C 3 \mathbb{C}^3 C 3 χ p e r m \chi_{\mathrm{perm}} χ perm
共役類 e e e 互換 3 サイクル 個数 1 3 2 χ t r i v \chi_{\mathrm{triv}} χ triv 1 1 1 χ s g n \chi_{\mathrm{sgn}} χ sgn 1 −1 1 χ p e r m \chi_{\mathrm{perm}} χ perm 3 1 0 χ s t d = χ p e r m − χ t r i v \chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \chi_{\mathrm{triv}} χ std = χ perm − χ triv 2 0 −1
実際、⟨ χ p e r m , χ t r i v ⟩ = 1 6 ( 3 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ) = 1 \langle \chi_{\mathrm{perm}}, \chi_{\mathrm{triv}} \rangle = \frac{1}{6}(3 + 3\cdot 1 + 2\cdot 0) = 1 ⟨ χ perm , χ triv ⟩ = 6 1 ( 3 + 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ) = 1 1 1 1 W = W = W = 0 0 0 χ s t d \chi_{\mathrm{std}} χ std
⟨ χ s t d , χ s t d ⟩ = 1 6 ( 2 2 + 3 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) 2 ) = 1 \langle \chi_{\mathrm{std}}, \chi_{\mathrm{std}} \rangle = \frac{1}{6}\bigl(2^2 + 3\cdot 0^2 + 2\cdot(-1)^2\bigr) = 1 ⟨ χ std , χ std ⟩ = 6 1 ( 2 2 + 3 ⋅ 0 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) 2 ) = 1 なので、系 5.4 から W W W ⟨ χ s g n , χ s t d ⟩ = 1 6 ( 2 − 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 ) ) = 0 \langle \chi_{\mathrm{sgn}}, \chi_{\mathrm{std}} \rangle = \frac{1}{6}(2 - 3\cdot 0 + 2\cdot(-1)) = 0 ⟨ χ sgn , χ std ⟩ = 6 1 ( 2 − 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( − 1 )) = 0 ⟨ χ t r i v , χ s g n ⟩ = 1 6 ( 1 − 3 + 2 ) = 0 \langle \chi_{\mathrm{triv}}, \chi_{\mathrm{sgn}} \rangle = \frac{1}{6}(1 - 3 + 2) = 0 ⟨ χ triv , χ sgn ⟩ = 6 1 ( 1 − 3 + 2 ) = 0 定理 6.2 により t r i v ⊕ s g n ⊕ s t d 2 \mathrm{triv} \oplus \mathrm{sgn} \oplus \mathrm{std}^{\,2} triv ⊕ sgn ⊕ std 2 1 + 1 + 2 + 2 = 6 1 + 1 + 2 + 2 = 6 1 + 1 + 2 + 2 = 6
例 6.4 （巡回群と離散フーリエ変換 ）
G = Z / n Z G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} G = Z / n Z χ j ( k ) = ζ j k \chi_j(k) = \zeta^{jk} χ j ( k ) = ζ j k ζ = e 2 π i / n \zeta = e^{2\pi i/n} ζ = e 2 π i / n
⟨ χ j , χ l ⟩ = 1 n ∑ k = 0 n − 1 ζ ( j − l ) k = { 1 ( j ≡ l m o d n ) 0 ( それ以外 ) \langle \chi_j, \chi_l \rangle = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\zeta^{(j-l)k} = \begin{cases} 1 & (j \equiv l \bmod n) \\ 0 & (\text{それ以外}) \end{cases} ⟨ χ j , χ l ⟩ = n 1 k = 0 ∑ n − 1 ζ ( j − l ) k = { 1 0 ( j ≡ l mod n ) ( それ以外 ) という等比級数の和です。正則表現 C G \mathbb{C}^G C G 定理 6.2 を適用すると、C G \mathbb{C}^G C G n n n χ j \chi_j χ j v j = ∑ k ζ − j k e k v_j = \sum_k \zeta^{-jk}e_k v j = ∑ k ζ − j k e k ρ ( 1 ) \rho(1) ρ ( 1 ) f = ∑ k f ( k ) e k f = \sum_k f(k)e_k f = ∑ k f ( k ) e k v j v_j v j
演習 7.1 易
位数 8 8 8 D 4 D_4 D 4 { e } \{e\} { e } { r 2 } \{r^2\} { r 2 } { r , r 3 } \{r, r^3\} { r , r 3 } { s , s r 2 } \{s, sr^2\} { s , s r 2 } { s r , s r 3 } \{sr, sr^3\} { sr , s r 3 } 5 5 5
解答 定理 6.1 から既約表現は 5 5 5 d 1 , … , d 5 d_1, \ldots, d_5 d 1 , … , d 5 ∑ d i 2 = 8 \sum d_i^2 = 8 ∑ d i 2 = 8 d i ≥ 3 d_i \ge 3 d i ≥ 3 9 > 8 9 > 8 9 > 8 d i ∈ { 1 , 2 } d_i \in \{1, 2\} d i ∈ { 1 , 2 } 2 2 2 a a a 1 1 1 5 − a 5 - a 5 − a 4 a + ( 5 − a ) = 8 4a + (5 - a) = 8 4 a + ( 5 − a ) = 8 a = 1 a = 1 a = 1 ( 1 , 1 , 1 , 1 , 2 ) (1, 1, 1, 1, 2) ( 1 , 1 , 1 , 1 , 2 )
演習 7.2 標準
G = Z / n Z G = \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} G = Z / n Z n ≥ 3 n \ge 3 n ≥ 3 C 2 \mathbb{C}^2 C 2 ρ ( k ) = ( cos 2 π k n − sin 2 π k n sin 2 π k n cos 2 π k n ) \rho(k) = \begin{pmatrix}\cos\frac{2\pi k}{n} & -\sin\frac{2\pi k}{n} \\ \sin\frac{2\pi k}{n} & \cos\frac{2\pi k}{n}\end{pmatrix} ρ ( k ) = ( cos n 2 π k sin n 2 π k − sin n 2 π k cos n 2 π k )
解答 χ ρ ( k ) = 2 cos 2 π k n = ζ k + ζ − k = χ 1 ( k ) + χ n − 1 ( k ) \chi_\rho(k) = 2\cos\frac{2\pi k}{n} = \zeta^k + \zeta^{-k} = \chi_1(k) + \chi_{n-1}(k) χ ρ ( k ) = 2 cos n 2 π k = ζ k + ζ − k = χ 1 ( k ) + χ n − 1 ( k ) ζ = e 2 π i / n \zeta = e^{2\pi i/n} ζ = e 2 π i / n 系 5.4 より ρ ≅ χ 1 ⊕ χ n − 1 \rho \cong \chi_1 \oplus \chi_{n-1} ρ ≅ χ 1 ⊕ χ n − 1 n ≥ 3 n \ge 3 n ≥ 3 χ 1 ≠ χ n − 1 \chi_1 \ne \chi_{n-1} χ 1 = χ n − 1 ( 1 , − i ) T (1, -i)^{\mathsf{T}} ( 1 , − i ) T ζ k \zeta^k ζ k ( 1 , i ) T (1, i)^{\mathsf{T}} ( 1 , i ) T ζ − k \zeta^{-k} ζ − k R 2 \mathbb{R}^2 R 2
演習 7.3 標準
G G G ρ \rho ρ ρ \rho ρ Z ( G ) Z(G) Z ( G )
解答 z ∈ Z ( G ) z \in Z(G) z ∈ Z ( G ) ρ ( z ) \rho(z) ρ ( z ) G G G 定理 4.1 (2) により ρ ( z ) = λ ( z ) i d \rho(z) = \lambda(z)\,\mathrm{id} ρ ( z ) = λ ( z ) id z ↦ λ ( z ) z \mapsto \lambda(z) z ↦ λ ( z ) Z ( G ) → C × Z(G) \to \mathbb{C}^{\times} Z ( G ) → C × ρ \rho ρ Z ( G ) Z(G) Z ( G ) C × \mathbb{C}^{\times} C × 定理 7.3［多項式環と体の拡大］ により巡回群です。
演習 7.4 標準
G G G X X X C X \mathbb{C}^X C X
解答 置換表現の指標は χ ( g ) = ∣ X g ∣ \chi(g) = |X^g| χ ( g ) = ∣ X g ∣ g g g 系 5.4 より自明表現の重複度は ⟨ χ , 1 ⟩ = 1 ∣ G ∣ ∑ g ∣ X g ∣ \langle \chi, 1 \rangle = \frac{1}{|G|}\sum_g |X^g| ⟨ χ , 1 ⟩ = ∣ G ∣ 1 ∑ g ∣ X g ∣ 定理 2.5［群の作用と Sylow の定理］ により軌道の個数 ∣ X / G ∣ |X/G| ∣ X / G ∣
J.-P. Serre, Linear Representations of Finite Groups , Graduate Texts in Mathematics 42, Springer, 1977 — Chapters 1–2（表現、指標、直交関係）。
W. Fulton and J. Harris, Representation Theory: A First Course , Graduate Texts in Mathematics 129, Springer, 1991 — Lectures 1–2。
B. Simon, Representations of Finite and Compact Groups , Graduate Studies in Mathematics 10, AMS, 1996 — 有限群からコンパクト群への橋渡し。
D. S. Dummit and R. M. Foote, Abstract Algebra , 3rd ed., Wiley, 2004 — Chapter 18（表現論と指標理論）。
平井武『線形代数と群の表現 I』朝倉書店、2001。