表現・部分表現・既約表現

有限次元複素ベクトル空間 $V$ と群準同型 $\rho : G \to \mathrm{GL}(V)$ の組 $(\rho, V)$ を $G$ の表現といい、$\dim V$ をその次元という。$\rho(g)v$ を $g \cdot v$ と略記することがある。

• 部分空間 $W \subseteq V$ が不変（$G$ 不変）であるとは、すべての $g \in G$ で $\rho(g)W \subseteq W$ となることをいう。このとき $\rho$ を $W$ に制限した表現 $W$ を部分表現という。
• $V \ne 0$ の表現 $V$ が既約であるとは、不変部分空間が $0$ と $V$ しかないことをいう。
• 表現 $V, W$ の間の線形写像 $f : V \to W$ が $G$ 準同型（絡作用素）であるとは、すべての $g$ で $f(\rho_V(g)v) = \rho_W(g)f(v)$ を満たすことをいう。$G$ 準同型全体を $\mathrm{Hom}_G(V, W)$ と書く。全単射な $G$ 準同型があるとき、$V$ と $W$ は同型（$V \cong W$）であるという。
• 表現 $V, W$ の直和 $V \oplus W$ は、$\rho(g)(v, w) = (\rho_V(g)v, \rho_W(g)w)$ で定める。