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平均化と Schur の補題

補題 4.3（「有限群の表現」§4）・ ✓公理まで証明済み

$(\rho, V), (\sigma, W)$ を $G$ の既約表現とし、任意の線形写像 $T : V \to W$ に対し

T^G = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \sigma(g)\,T\,\rho(g)^{-1}

とおく。すると $T^G \in \mathrm{Hom}_G(V, W)$ であり、

$V \not\cong W$ なら $T^G = 0$ 。
$V = W$ , $\sigma = \rho$ なら $T^G = \dfrac{\mathrm{tr}\,T}{\dim V}\,\mathrm{id}_V$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Schur の補題✓定理 4.1・有限群の表現
- 固有値の存在✓系 4.6・固有値と固有ベクトル
  - 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル
  - 固有値の判定条件✓命題 3.3・固有値と固有ベクトル
    固有値と固有ベクトル定義 3.1・固有値と固有ベクトル
特性多項式と固有空間の相似不変性✓定理 4.4・固有値と固有ベクトル
- 特性多項式の次数と係数✓命題 4.3・固有値と固有ベクトル

これを使っている定理証明で参照している 1 件

既約指標の直交関係✓定理 5.3・有限群の表現