特性多項式と固有空間の相似不変性

$A \in M_n(K)$、$P \in M_n(K)$ を正則行列とし、$B = P^{-1}AP$ と置く。このとき

1. $\varphi_B(t) = \varphi_A(t)$。とくに $\operatorname{tr} B = \operatorname{tr} A$ かつ $\det B = \det A$。
2. 任意の $\lambda \in K$ について、写像 $\boldsymbol{v} \mapsto P^{-1}\boldsymbol{v}$ は $\ker(A - \lambda I)$ から $\ker(B - \lambda I)$ への同型を与える。とくに $\dim \ker(A - \lambda I) = \dim \ker(B - \lambda I)$。