線形代数学 100 本ノック

学部100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（ベクトル空間から行列分解・固有値評価まで）の定義と定理を一通り学んだ学部生。仮定の役割を問う問題が中心です。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• 齋藤正彦『線型代数入門』
• 杉浦光夫『線型代数入門』
• S. Axler, Linear Algebra Done Right
• R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix Analysis

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: ベクトル空間と線形変換
• 10〜18: 行列と連立一次方程式
• 19〜28: 行列式
• 29〜35: 固有値と固有ベクトル
• 36〜45: 対角化とジョルダン標準形
• 46〜55: 内積空間とグラム・シュミット直交化
• 56〜65: スペクトル定理
• 66〜74: 双対空間と商空間
• 75〜82: テンソル積と外積代数
• 83〜91: 行列の分解と標準形
• 92〜100: 行列の固有値評価と不等式

形式: 単一選択 35・複数選択 17・○× 11・数値 15・並べ替え 8・誤り探し 7・記述 7。難易度 ★〜★★★★: 11 / 52 / 35 / 2。

この冊で使う定義・定理（142）

• 定義 4.1 多重線形性と交代性 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 19, 22, 25 番
• 定義 5.1 小行列式・余因子・余因子行列 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 23, 26 番
• 定義 3.1 行列式（ライプニッツの公式） 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 24 番
• 例 5.3 3 次のヴァンデルモンド行列式 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 27 番
• 命題 5.4 余因子行列の基本関係式 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 23, 26, 28 番
• 命題 3.3 転置不変性と三角行列 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 20, 21 番
• 命題 4.3 基本変形と行列式 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 20, 22, 27 番
• 定理 4.2 行列式の特徴づけ 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 19 番
• 定理 5.2 余因子展開（ラプラス展開） 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 20, 24, 26, 27 番
• 定理 6.1 積の定理 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 21, 23, 25, 28 番
• 定理 7.1 正則性の判定 行列式とその性質：符号付き体積としての det → 21, 22, 28 番
• 系 3.4 相異なる n 個の固有値をもつ行列 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 36, 37, 38 番
• 定義 3.1 対角化可能 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 36, 38 番
• 定義 6.1 ジョルダン細胞とジョルダン標準形 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 39, 40, 41, 42 番
• 定義 3.5 代数的重複度と幾何的重複度 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 44 番
• 定義 2.1 相似 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 35 番
• 補題 3.3 異なる固有値の固有ベクトルは一次独立 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 43 番
• 命題 3.6 幾何的重複度は代数的重複度を超えない 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 44 番
• 命題 6.4 細胞の個数を階数で数える 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 39, 41, 45 番
• 命題 4.1 対角形による関数計算 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 37 番
• 命題 2.2 相似不変量 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 35, 42, 44, 45 番
• 定理 3.7 対角化可能性の判定 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 36, 38, 41 番
• 定理 6.2 ジョルダン標準形の存在と一意性 対角化とジョルダン標準形：変換が一番簡単に見える座標を探す → 39, 40, 42, 45 番
• 定義 3.3 零化空間 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 68, 72 番
• 定義 5.1 直和 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 74 番
• 定義 2.1 双対空間 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 66 番
• 定義 5.4 射影 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 73 番
• 定義 4.1 商空間 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 69, 70 番
• 定義 3.1 転置写像 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 72 番
• 例 2.2 線形形式の例 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 66 番
• 演習 6.1 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 67 番
• 命題 5.2 直和の判定と次元公式 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 74 番
• 命題 4.2 商空間の次元 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 70 番
• 注意 2.6 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 71 番
• 定理 3.4 零化空間の次元公式 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 68 番
• 定理 2.5 二重双対空間との自然な同型 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 71 番
• 定理 2.3 双対基底 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 67 番
• 定理 4.5 商空間・部分空間の双対 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 71 番
• 定理 4.3 線形版の準同型定理 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 69 番
• 定理 3.5 転置写像の核と像 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 68, 71, 72 番
• 定理 5.5 直和分解と射影の対応 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 73 番
• 定理 3.2 転置写像の表現行列 双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る → 68 番
• 系 4.6 固有値の存在 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 33, 88 番
• 系 4.5 固有値の総和と総積 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 30, 34 番
• 定義 4.1 特性多項式 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 30, 32, 33, 90 番
• 定義 3.1 固有値と固有ベクトル 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 29, 34, 43, 99 番
• 定義 5.1 固有空間 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 31 番
• 定義 6.1 代数的重複度と幾何学的重複度 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 31 番
• 命題 4.3 特性多項式の次数と係数 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 33 番
• 命題 3.3 固有値の判定条件 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 29, 32 番
• 定理 5.2 相異なる固有値に属する固有ベクトルの一次独立性 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 32, 43 番
• 定理 6.2 幾何学的重複度は代数的重複度以下 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 31 番
• 定理 4.4 特性多項式と固有空間の相似不変性 固有値と固有ベクトル：線形変換が向きを変えない方向を探す → 30, 35 番
• 系 6.2 正規直交基底の存在 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 50, 88 番
• 定義 4.6 角度と直交性 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 53 番
• 定義 3.1 内積空間 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 46, 47, 48, 49, 54, 55 番
• 定義 4.1 ノルムと距離 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 46, 48, 49 番
• 定義 5.1 正規直交系・正規直交基底 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 50, 54 番
• 例 7.5 最小二乗法 — 直線あてはめ 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 52 番
• 命題 5.2 直交系は一次独立 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 48 番
• 注意 7.4 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 53 番
• 定理 7.2 最良近似 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 51, 52, 55 番
• 定理 4.2 コーシー・シュワルツの不等式 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 49 番
• 定理 6.1 グラム・シュミットの直交化 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 47, 50 番
• 定理 5.3 正規直交基底による展開 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 54 番
• 定理 7.1 直交分解定理 内積空間とグラム・シュミット直交化：長さと角度を線形代数に持ち込む → 51, 52, 53, 55 番
• 定義 5.1 基底変換行列 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 15 番
• 定義 4.1 行列の積 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 16, 17 番
• 定義 8.1 階数 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 11, 14, 18 番
• 定義 3.1 表現行列 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 10, 17 番
• 補題 7.2 基本行変形の三つの性質 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 11, 14 番
• 命題 8.7 逆行列の掃き出し法 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 14 番
• 命題 6.1 解集合の構造 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 12 番
• 定理 5.2 表現行列の変換則 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 15 番
• 定理 7.4 掃き出し法 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 13 番
• 定理 4.2 積は合成の表現行列 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 17 番
• 定理 8.3 次元定理 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 12, 16 番
• 定理 8.2 階数はピボットの個数であり、行階数に等しい 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 11 番
• 定理 3.2 線形写像と行列の対応 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 10 番
• 定理 8.4 可解条件と解の個数 行列と連立一次方程式：線形写像の座標表示と解の構造 → 12, 13 番
• 例 2.2 累乗と逆行列の計算 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 83 番
• 例 4.2 2 次の特異値分解 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 86 番
• 補題 5.1 半正定値行列の平方根の一意性 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 91 番
• 命題 4.3 作用素ノルムと最良低階数近似 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 85 番
• 命題 2.3 最小多項式 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 84 番
• 命題 3.2 正規行列の特徴づけ 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 59, 86, 89 番
• 定理 2.1 ケイリー・ハミルトンの定理 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 83, 90 番
• 定理 2.4 最小多項式による対角化可能性の判定 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 34, 84, 89 番
• 定理 5.2 極分解 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 91 番
• 定理 3.1 シュール分解 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 88, 89 番
• 定理 4.1 特異値分解 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 85, 86 番
• 定理 6.1 シルヴェスターの慣性法則 行列の分解と標準形：ケイリー・ハミルトンから特異値分解・ウィリアムソンの標準形まで → 87 番
• 系 4.5 シルヴェスターの行列式恒等式 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 97 番
• 定義 2.1 ゲルシュゴリン円板 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 92, 98 番
• 定義 6.1 既約な非負行列 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 94 番
• 例 6.5 コリャッツ・ヴィーラントによる評価 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 95 番
• 命題 6.4 正行列の他の固有値 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 94 番
• 定理 5.2 コーシー・ビネの公式 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 97 番
• 定理 3.1 クーラン・フィッシャーの最大最小原理 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 96 番
• 定理 2.2 ゲルシュゴリンの円板定理 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 92, 98 番
• 定理 5.1 アダマールの不等式 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 93 番
• 定理 3.3 コーシーの交互定理 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 96 番
• 定理 8.1 カントロヴィッチの不等式 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 100 番
• 定理 6.3 ペロン・フロベニウスの定理（既約行列） 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 94, 95 番
• 定理 4.2 シュール補行列 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 97 番
• 定理 7.1 シルヴェスター方程式の可解性 行列の固有値評価と不等式：ゲルシュゴリンからペロン・フロベニウス、カントロヴィッチまで → 99 番
• 定義 2.1 随伴行列 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 56 番
• 定義 3.1 エルミート行列・ユニタリ行列・正規行列 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 56, 57, 58, 59, 65 番
• 定義 6.2 正定値・半正定値 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 60, 64, 91, 93 番
• 定義 6.1 2 次形式 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 64 番
• 補題 3.3 エルミート行列の固有値と固有ベクトル スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 62, 63 番
• 補題 4.1 不変部分空間の直交補空間 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 63 番
• 命題 3.2 ユニタリ行列の特徴づけ スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 57, 65 番
• 定理 8.1 スペクトル定理（正規行列） スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 58, 59, 62, 65 番
• 定理 6.3 主軸定理と正定値性の判定 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 60, 64, 87 番
• 定理 7.1 レイリー商の最大・最小 スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 61, 100 番
• 定理 4.2 スペクトル定理（エルミート行列） スペクトル定理：対称行列はなぜ「回転だけ」で対角化できるのか → 60, 61, 62, 63 番
• 定義 4.1 置換の作用と対称テンソル テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 76, 80 番
• 定義 3.6 線形写像のテンソル積 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 78 番
• 定義 3.1 テンソル積（普遍性による定義） テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 75 番
• 例 3.10 純テンソルでないもの テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 77 番
• 命題 3.7 クロネッカー積 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 78 番
• 命題 6.2 外積冪の表現行列は小行列式 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 81 番
• 命題 3.9 純テンソルと階数 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 77 番
• 命題 4.2 対称テンソルの次元 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 76, 80 番
• 命題 3.4 テンソルの基本計算 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 79 番
• 命題 5.2 外積の基本性質 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 79, 82 番
• 定理 5.3 外積冪の基底 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 79, 81, 82 番
• 定理 3.2 テンソル積の存在・一意性・基底 テンソル積と外積代数：多重線形性を一つの線形写像に還元する → 75, 77 番
• 系 7.5 有限次元での単射・全射・全単射の一致 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 6, 14, 16 番
• 定義 5.6 次元 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 4 番
• 定義 5.1 線形独立・生成系・基底 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 3, 5 番
• 定義 7.1 核と像 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 6, 7, 8, 18 番
• 定義 4.1 部分空間 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 1, 2, 9 番
• 定義 3.1 ベクトル空間 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 2 番
• 補題 5.4 取り替え補題 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 8 番
• 命題 5.7 有限次元空間の基本性質 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 5, 82 番
• 命題 7.2 核と像の基本性質 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 6 番
• 命題 4.2 部分空間の判定条件 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 1, 2, 9 番
• 命題 5.8 部分空間の和の次元公式 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 4, 18 番
• 定理 5.5 次元の一意性 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 3, 5 番
• 定理 7.3 次元定理 ベクトル空間と線形変換：8 つの公理から次元定理まで → 7, 8 番