双対空間と商空間：線形写像を「測る側」と「割る側」から見る

0. この記事の要点

ベクトルを 1 つ決めると、「その $x$ 座標」「全成分の和」のように、数を 1 つ返す「測り方」がたくさん考えられます。この記事では、そうした測り方の全体を 1 つの空間として扱う双対空間と、ある部分の違いを「無いものとして割る」商空間を紹介します。読み終えると、行列の行階数と列階数がなぜ一致するのかを、成分の計算に頼らずに説明できるようになります。

• ベクトル空間 $V$ の双対空間 $V^{*}$ は、$V$ から体 $K$ への線形写像全体（$\operatorname{Hom}(V,K)$ と書きます）です。$V$ が有限次元なら、基底 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ に対して $e^i(\boldsymbol{e}_j)=\delta_{ij}$ で決まる双対基底が $V^{*}$ の基底になり、$\dim V^{*}=\dim V$ です。
• 線形写像 $T:V\to W$ には、関数を引き戻す転置写像 $T^{t}:W^{*}\to V^{*}$ が付随します。基底を双対基底にとると、その表現行列は $T$ の表現行列の転置です。
• 部分空間 $U$ の零化空間 $U^{0}$（$U$ 上で $0$ になる線形形式の全体）について $\dim U+\dim U^{0}=\dim V$ が成り立ちます。ここから $\ker T^{t}=(\operatorname{im}T)^{0}$ を経て、行列の行階数と列階数の一致が基底に頼らずに出ます。
• 部分空間 $U$ で「割った」商空間 $V/U$ は、$U$ に属する差を無視して $V$ の元を同一視した空間で、$\dim V/U=\dim V-\dim U$ です。線形版の準同型定理 $V/\ker T\cong\operatorname{im}T$ は次元定理を書き換えたもので、群・環の準同型定理と同じ形をしています（群・環の準同型定理を知らなくても読めます。線形版はこの記事の中で証明します）。
• $V=U\oplus W$ という直和分解は、$P^{2}=P$ を満たす線形写像（射影。一度写した結果をもう一度写しても変わらない写像）と 1 対 1 に対応します。商空間 $V/U$ は補空間 $W$ と同型です。

この記事で使う事前知識

• 線形写像: 足し算とスカラー倍を保つ写像。→ 線形写像
• 基底と次元: 線形独立で全体を張るベクトルの組が基底で、その個数が次元。→ 次元
• 部分空間: 足し算とスカラー倍で閉じている部分集合。→ 部分空間
• 核と像: $\ker T$ は $T$ で $0$ に写る元の集まり、$\operatorname{im}T$ は $T$ の値の集まり。→ 核と像
• 表現行列と階数: 基底を決めて線形写像を行列で表したものが表現行列で、階数は像の次元。→ 表現行列、階数
• 同値関係と同値類: 「同じとみなす」規則と、同じとみなされる元の集まり。→ 同値関係、同値類

1. 動機 — 「ベクトル」ではなく「ベクトルを測る道具」を数える

$\mathbb{R}^3$ の点 $(x,y,z)$ に対して、「$x$ 座標を読む」「$x+y+z$ を計算する」「原点から $(1,2,3)$ 方向への成分を測る」といった操作は、どれもベクトルを 1 つの数に写す線形写像です。座標を読むという操作は、ベクトルそのものとは別の対象であり、しかも座標を読む操作の全体もまた足し算とスカラー倍について閉じています。この「測る道具」の全体がつくるベクトル空間が双対空間です。

測る道具を考える利点は 3 つあります。第一に、基底の意味がはっきりします。ベクトル $\boldsymbol{v}$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ に関する成分 $x_i$ とは、「$\boldsymbol{e}_i$ の係数を読み取る線形形式」$e^i$ を $\boldsymbol{v}$ に作用させた値のことです。第二に、行列の転置の正体が分かります。行列 $A$ の転置 $A^{\mathsf{T}}$ を、成分を入れ替える操作として天下り的に導入するのではなく、双対空間の上の写像 $T^{t}$ の表現行列として必然的に得られます。第三に、関数解析への橋が架かります。無限次元では、$V$ の元と同じくらい、$V$ 上の連続な線形形式の方が重要な対象になります（本記事はその有限次元版にあたります）。

もう一つの主役が商空間です。連立一次方程式 $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ の解は、特殊解に $\ker A$ の元を足したものでした。解集合は $\boldsymbol{x}_0+\ker A$ という「$\ker A$ だけずらした平面」で、$\ker A$ に属するずれを区別しない見方に立つと、解が 1 つの点に見えます。この見方を代数的に厳密にしたものが $V/U$ です。「$U$ に属する違いは無視する」という操作により、線形写像 $T$ は単射な写像 $V/\ker T\to W$ に変わります。以下、体 $K$ 上の有限次元ベクトル空間を主に扱い、本文で $\dim V=n$ と書いたときは $V$ が有限次元であることを含意します。

2. 双対空間と双対基底

定義 2.1（双対空間）↗

$V$ を体 $K$ 上のベクトル空間とする。$V$ から $K$ への線形写像を 線形形式（線形汎関数）という。線形形式の全体

$$V^{*}=\operatorname{Hom}(V,K)$$

を $V$ の双対空間という。和とスカラー倍は $(f+g)(\boldsymbol{v})=f(\boldsymbol{v})+g(\boldsymbol{v})$、$(cf)(\boldsymbol{v})=c\,f(\boldsymbol{v})$ で定める。$f\in V^{*}$ と $\boldsymbol{v}\in V$ に対し $f(\boldsymbol{v})$ を $\langle f,\boldsymbol{v}\rangle$ とも書く。

線形写像の全体 $\operatorname{Hom}(V,W)$ がベクトル空間になることは 線形写像と行列の対応（定理 3.2）［行列と連立一次方程式］ で示されています。$W=K$ とした特別な場合が $V^{*}$ です。

例 2.2（線形形式の例）

1. $V=K^{n}$ の第 $i$ 成分を取り出す写像 $\boldsymbol{x}\mapsto x_i$。一般の線形形式は $\boldsymbol{x}\mapsto a_1x_1+\cdots+a_nx_n$ の形（行ベクトル $(a_1,\ldots,a_n)$ をかける操作）に限られます。
2. $V=M_n(K)$ に対するトレース $X\mapsto\operatorname{tr}X$。
3. $V=K[x]_{\le 2}$（次数 2 以下の多項式の空間）に対する点での値 $\mathrm{ev}_a:p\mapsto p(a)$ や、定積分 $p\mapsto\int_0^2p(x)\,dx$（$K=\mathbb{R}$ のとき）。

定理 2.3（双対基底）✓

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間、$(\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n)$ をその基底とする。線形形式 $e^{1},\ldots,e^{n}\in V^{*}$ を

$$e^{i}(\boldsymbol{e}_j)=\delta_{ij}\qquad(i,j=1,\ldots,n)$$

で定めると（$\delta_{ij}$ はクロネッカーのデルタ）、次が成り立つ。

1. $(e^{1},\ldots,e^{n})$ は $V^{*}$ の基底である（双対基底）。とくに $\dim V^{*}=\dim V$。
2. 任意の $f\in V^{*}$ と $\boldsymbol{v}\in V$ に対し、$f=\sum_{i}f(\boldsymbol{e}_i)\,e^{i}$、$\boldsymbol{v}=\sum_{i}e^{i}(\boldsymbol{v})\,\boldsymbol{e}_i$。

証明（定理 2.3）

線形写像は基底の像で一意に決まる（基底の像と線形写像（命題 2.1）［行列と連立一次方程式］）ので、各 $e^i$ が定義できます。$e^i(\boldsymbol{v})$ は $\boldsymbol{v}$ を基底で展開したときの $\boldsymbol{e}_i$ の係数です。

線形独立性: $\sum_i c_ie^{i}=0$ とします。これを $\boldsymbol{e}_j$ に作用させると $\sum_ic_i\delta_{ij}=c_j=0$ です。

生成性と 2 の前半: $f\in V^{*}$ に対し $g=f-\sum_if(\boldsymbol{e}_i)e^{i}$ とおくと、$g(\boldsymbol{e}_j)=f(\boldsymbol{e}_j)-f(\boldsymbol{e}_j)=0$ がすべての $j$ で成り立ちます。基底の像が $0$ の線形写像は零写像なので $g=0$ です。これは $f$ が $e^{i}$ の線形結合であることを示します。

2 の後半は $\boldsymbol{v}=\sum_ix_i\boldsymbol{e}_i$ に $e^{i}$ を作用させて $x_i=e^{i}(\boldsymbol{v})$ を得ることです。1 の次元の主張は、基底の個数が $n$ であることからです。

∎

定理の 2 は、「成分とは双対基底を作用させた値である」という読み方を正当化します。基底を変えると双対基底も変わるので、$e^{i}$ は基底全体に依存して決まることに注意してください。たとえば $e^{1}$ は「$\boldsymbol{e}_1$ の係数」であって、$\boldsymbol{e}_2,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ を取りかえると $\boldsymbol{e}_1$ を動かさなくても変わります。

例 2.4（ラグランジュ補間とシンプソンの公式）

$V=\mathbb{R}[x]_{\le2}$ の線形形式 $\mathrm{ev}_0,\mathrm{ev}_1,\mathrm{ev}_2$ は、$V^{*}$ の基底になります。実際、$\sum_ic_i\,\mathrm{ev}_i=0$ ならば、多項式 $1,x,x^2$ に作用させて $c_0+c_1+c_2=0$、$c_1+2c_2=0$、$c_1+4c_2=0$ を得て $c_0=c_1=c_2=0$ です。$\dim V^{*}=3$ ですからこれは基底です。この双対基底は $V$ の基底 $L_0,L_1,L_2$ で、$\mathrm{ev}_i(L_j)=\delta_{ij}$ を満たすもの、すなわち

$$L_0=\tfrac12(x-1)(x-2),\qquad L_1=x(2-x),\qquad L_2=\tfrac12x(x-1)$$

（ラグランジュ補間多項式）です。定理 2.3 の 2 より、任意の $p\in V$ は $p=p(0)L_0+p(1)L_1+p(2)L_2$ と展開されます。

定積分の線形形式 $I(p)=\int_0^2p\,dx$ も、$I=\sum_iI(L_i)\,\mathrm{ev}_i$ と展開できます。$I(L_0)=\tfrac12\int_0^2(x^2-3x+2)dx=\tfrac13$、$I(L_1)=\int_0^2(2x-x^2)dx=\tfrac43$、$I(L_2)=\tfrac12\int_0^2(x^2-x)dx=\tfrac13$ なので

$$\int_0^2p(x)\,dx=\frac{p(0)+4p(1)+p(2)}{3}\qquad(p\in\mathbb{R}[x]_{\le2})$$

が従います。これはシンプソンの公式で、2 次以下の多項式に対して厳密に成り立ちます。数値積分の公式とは、$V^{*}$ の元を「点での値」という基底で展開した係数にほかなりません。

斜交基底 b1 = (1,0)、b2 = (1,1) の双対基底。実線は f1 = x - y の等位線（値 0 と 1）、破線は f2 = y の等位線（値 0 と 1）。f1 は b2 方向に沿って 0 であり、f2 は b1 方向に沿って 0 である。

次に、$V$ と $V^{*}$ の関係を逆向きにも見ます。$V^{*}$ にもその双対空間 $V^{**}=(V^{*})^{*}$ があります。ベクトル $\boldsymbol{v}\in V$ を固定すると、$f\mapsto f(\boldsymbol{v})$ は $V^{*}$ 上の線形形式です。これは基底の選択を一切使わずに作れる写像です。ここで $\iota(\boldsymbol{v})$ は、$V^{*}$ の元 $f$ を受け取って数 $f(\boldsymbol{v})$ を返す関数で、固定されているのが $\boldsymbol{v}$、動くのが $f$ です。

定理 2.5（二重双対空間との自然な同型）✓

$V$ を有限次元ベクトル空間とする。写像 $\iota:V\to V^{**}$ を $\iota(\boldsymbol{v})(f)=f(\boldsymbol{v})$ で定めると、$\iota$ は線形同型である。さらに、$V$ の基底 $(\boldsymbol{e}_i)$ に対し、$\iota(\boldsymbol{e}_i)$ は双対基底 $(e^{i})$ の双対基底である。

証明（定理 2.5）

$\iota(\boldsymbol{v})$ が $f$ について線形であることは、$V^{*}$ の和とスカラー倍の定義そのものです。$\iota$ が $\boldsymbol{v}$ について線形であることも、$f$ が線形であることから従います。

単射性: $\boldsymbol{v}\ne\boldsymbol{0}$ とします。$\boldsymbol{v}$ は線形独立な組なので、基底の延長（有限次元空間の基本性質（命題 5.7）［ベクトル空間と線形変換］ の 2）により $\boldsymbol{v}$ を第 1 基底ベクトルとする基底がとれます。その双対基底の第 1 元 $f$ は $f(\boldsymbol{v})=1\ne0$ を満たすので $\iota(\boldsymbol{v})\ne0$ です。$\ker\iota=\{0\}$ です。

$\dim V^{**}=\dim V^{*}=\dim V$（定理 2.3 を 2 回使う）ですから、単射な線形写像 $\iota$ は全射でもあります（単射と全射の同値（系 7.5）［ベクトル空間と線形変換］）。最後の主張は $\iota(\boldsymbol{e}_i)(e^{j})=e^{j}(\boldsymbol{e}_i)=\delta_{ij}$ からです。

∎

以後、有限次元では $\iota$ により $V^{**}$ と $V$ を同一視します。基底を使わずに同一視できる点が重要で、これが「自然な」同型という言葉の意味です。一方 $V$ と $V^{*}$ の間には、内積などの追加の構造がない限り、基底に頼らない同型は存在しません。

注意 2.6

有限次元という仮定は本質的です。$V=K^{(\mathbb{N})}$（有限個の成分しか $0$ でない数列の空間）は、基底 $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\ldots$ をもちます。$V^{*}$ の元は、各 $\boldsymbol{e}_i$ での値 $a_i=f(\boldsymbol{e}_i)$ を勝手に与えて決まるので、$V^{*}\cong K^{\mathbb{N}}$（すべての数列）です。数列 $(1,1,1,\ldots)$ を表す $f$ は、どの有限個の $e^{i}$ の線形結合でもありません（有限個の $e^{i}$ の線形結合は、十分大きい $j$ について $\boldsymbol{e}_j$ に $0$ を与えますが、この $f$ はすべての $j$ で $f(\boldsymbol{e}_j)=1$ だから）。つまり 定理 2.3 の 2 は無限次元では成立せず、$\{e^i\}$ は $V^{*}$ を張りません。関数解析では連続な線形形式だけを考え、$\ell^p$ 空間の双対がちょうど $\ell^q$ になるといった状況で議論を進めます（バナッハ空間）。

3. 転置写像と零化空間

線形形式は「値を読む」写像ですから、$T:V\to W$ があれば、$W$ の線形形式 $f$ を $V$ に引き戻すことができます。$f\circ T$ は $V$ 上の線形形式です。

定義 3.1（転置写像）↗

$T:V\to W$ を線形写像とする。

$$T^{t}:W^{*}\to V^{*},\qquad T^{t}(f)=f\circ T$$

を $T$ の転置写像（双対写像）という。

$T^{t}$ が線形であること（$(f+g)\circ T=f\circ T+g\circ T$ など）は定義から明らかです。矢印の向きが $T$ と逆になることと、$(ST)^{t}=T^{t}S^{t}$ のように積の順序が入れ替わることに注意してください。$S:V\to W$、$T:U\to V$ のとき、$g\in W^{*}$ に対して $(ST)^{t}g=g\circ S\circ T=T^{t}(S^{t}g)$ です。

次の定理は、「転置」という行列の操作が、引き戻しという基底によらない操作の表現行列として現れることを示します。小さな例で確かめておきます。$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ のとき $T\boldsymbol{e}_1=\boldsymbol{f}_1+3\boldsymbol{f}_2$、$T\boldsymbol{e}_2=2\boldsymbol{f}_1+4\boldsymbol{f}_2$ です。$T^{t}(f^{1})=f^{1}\circ T$ は $\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2$ にそれぞれ $1,2$ を返すので $e^{1}+2e^{2}$、同様に $T^{t}(f^{2})=3e^{1}+4e^{2}$ です。この 2 つの係数を列に並べると $\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}=A^{\mathsf{T}}$ になります。

T は V から W へ、転置写像 T^t は W の線形形式 f を V の線形形式 f∘T に引き戻す。矢印の向きが逆になる。

定理 3.2（転置写像の表現行列）✓

$V,W$ を有限次元とし、$(\boldsymbol{e}_j)$ を $V$ の基底、$(\boldsymbol{f}_i)$ を $W$ の基底、$(e^{j})$、$(f^{i})$ をそれぞれの双対基底とする。$T:V\to W$ の基底 $(\boldsymbol{e}_j)$、$(\boldsymbol{f}_i)$ に関する表現行列を $A=(a_{ij})$（$T\boldsymbol{e}_j=\sum_ia_{ij}\boldsymbol{f}_i$）とすると、$T^{t}$ の双対基底 $(f^{i})$、$(e^{j})$ に関する表現行列は転置 $A^{\mathsf{T}}$ である。

証明（定理 3.2）

$T^{t}(f^{i})\in V^{*}$ を $\boldsymbol{e}_j$ に作用させると

$$T^{t}(f^{i})(\boldsymbol{e}_j)=f^{i}(T\boldsymbol{e}_j)=f^{i}\Bigl(\sum_ka_{kj}\boldsymbol{f}_k\Bigr)=a_{ij}$$

です。定理 2.3 の 2 より $T^{t}(f^{i})=\sum_ja_{ij}e^{j}$ となります。これは $T^{t}$ の表現行列の $(j,i)$ 成分が $a_{ij}$ であることを意味し、その行列は $A^{\mathsf{T}}$ です。

∎

こうして $(AB)^{\mathsf{T}}=B^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$ は、$(ST)^{t}=T^{t}S^{t}$ の行列版として基底の取り方によらない理由をもちます。次に、部分空間に対応する双対側の概念を導入します。

定義 3.3（零化空間）↗

$U$ を $V$ の部分空間とする。

$$U^{0}=\{f\in V^{*}\mid f(\boldsymbol{u})=0\ (\forall\boldsymbol{u}\in U)\}$$

を $U$ の零化空間（annihilator）という。$U^{0}$ は $V^{*}$ の部分空間である。

直観的には、$U$ が $V$ の中の「ある方程式系の解空間」であるとき、$U^{0}$ はその方程式を与える線形形式（左辺）の全体です。たとえば $\mathbb{R}^3$ の平面 $x+y+z=0$ の零化空間は、$(1,1,1)$ の定数倍が定める線形形式の全体で 1 次元です。

次の定理の 1 は、$U$ の基底を $V$ の基底へ延長して双対基底をとると、前半の $e^{1},\ldots,e^{k}$ が $U$ の成分を読み、残りの $e^{k+1},\ldots,e^{n}$ が $U$ の上では常に $0$ になる、という観察から出ます。

定理 3.4（零化空間の次元公式）✓

$V$ を $n$ 次元ベクトル空間、$U$ をその部分空間とする。

1. $\dim U+\dim U^{0}=\dim V$。
2. $\iota$ による同一視のもとで $(U^{0})^{0}=U$。
3. $U\subseteq U'$ ならば $U'^{0}\subseteq U^{0}$。

証明（定理 3.4）

1. $\dim U=k$ とし、$U$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_k$ を $V$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n$ に延長します（有限次元空間の基本性質（命題 5.7）［ベクトル空間と線形変換］ の 2）。その双対基底 $e^{1},\ldots,e^{n}$ について、$U^{0}=\operatorname{span}(e^{k+1},\ldots,e^{n})$ を示します。$f=\sum_if(\boldsymbol{e}_i)e^{i}$（定理 2.3 の 2）が $U$ 上で $0$ であることは、$f(\boldsymbol{e}_1)=\cdots=f(\boldsymbol{e}_k)=0$ と同値です。これは $f$ が $e^{k+1},\ldots,e^{n}$ の線形結合であることにほかなりません。ゆえに $\dim U^{0}=n-k$ です。
2. $\boldsymbol{u}\in U$ ならば、任意の $f\in U^{0}$ に対し $\iota(\boldsymbol{u})(f)=f(\boldsymbol{u})=0$、すなわち $\iota(\boldsymbol{u})\in(U^{0})^{0}$ です。したがって $\iota(U)\subseteq(U^{0})^{0}$ です。次元は、1 を $U^{0}\subseteq V^{*}$ に適用して $\dim(U^{0})^{0}=n-\dim U^{0}=\dim U=\dim\iota(U)$ と一致するので、部分空間が包含かつ同次元で等しい（有限次元空間の基本性質（命題 5.7）［ベクトル空間と線形変換］ の 3）ことから $\iota(U)=(U^{0})^{0}$ です。
3. $f\in U'^{0}$ は $U'\supseteq U$ 上で $0$ ですから $U$ 上で $0$ です。

∎

零化空間と転置写像を組み合わせると、核と像が入れ替わるという美しい対応が得られます。

定理 3.5（転置写像の核と像）✓

$V,W$ を有限次元ベクトル空間、$T:V\to W$ を線形写像とする。

1. $\ker T^{t}=(\operatorname{im}T)^{0}$。
2. $\operatorname{im}T^{t}=(\ker T)^{0}$。
3. $\operatorname{rank}T^{t}=\operatorname{rank}T$。

証明（定理 3.5）

1. $f\in W^{*}$ について、$T^{t}f=0$ は「すべての $\boldsymbol{v}\in V$ で $f(T\boldsymbol{v})=0$」と同値で、これは $f$ が $\operatorname{im}T$ 上で $0$、すなわち $f\in(\operatorname{im}T)^{0}$ ということです。

2. $m=\dim W$、$r=\operatorname{rank}T$ とおきます。1 と 定理 3.4 の 1 より $\dim\ker T^{t}=m-r$ です。次元定理（次元定理（定理 7.3）［ベクトル空間と線形変換］）を $T^{t}:W^{*}\to V^{*}$ に適用すると $\operatorname{rank}T^{t}=\dim W^{*}-\dim\ker T^{t}=m-(m-r)=r$ です。

3. $f=T^{t}g=g\circ T$ は $\ker T$ 上で $0$ なので $\operatorname{im}T^{t}\subseteq(\ker T)^{0}$ です。次元は、3 より $\dim\operatorname{im}T^{t}=r$、定理 3.4 の 1 と次元定理より $\dim(\ker T)^{0}=n-(n-r)=r$ で等しい。包含かつ同次元なので等号です。

∎

3 を行列に翻訳すると、次の有名な事実になります。

系 3.6（行階数と列階数の一致）✓

$A\in M_{m,n}(K)$ に対し、列ベクトルの張る空間の次元（列階数）と行ベクトルの張る空間の次元（行階数）は等しい。すなわち $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}A^{\mathsf{T}}$。

証明（系 3.6）

$A$ が定める線形写像 $T_A:K^n\to K^m$（$\boldsymbol{x}\mapsto A\boldsymbol{x}$）の標準基底に関する表現行列が $A$ です。$\operatorname{rank}A$ は $T_A$ の像の次元 $\operatorname{rank}T_A$ です。定理 3.2 より $T_A^{t}$ の表現行列は $A^{\mathsf{T}}$ ですから、$\operatorname{rank}A^{\mathsf{T}}=\operatorname{rank}T_A^{t}$ です。定理 3.5 の 3 より $\operatorname{rank}T_A^{t}=\operatorname{rank}T_A$ です。

∎

階数を掃き出し法で測ったときの階段形の段数（階数とピボット（定理 8.2）［行列と連立一次方程式］）とは別に、ここでは基底を使わず次元の勘定だけで行階数＝列階数を示せました。

例 3.7（零化空間の計算）

$K^4$ の部分空間 $U=\operatorname{span}\{(1,1,1,1)^{\mathsf{T}},(1,2,3,4)^{\mathsf{T}}\}$ の零化空間を求めます。線形形式 $f(\boldsymbol{x})=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4$ が $U$ の 2 本の生成元で $0$ になる条件は $a_1+a_2+a_3+a_4=0$、$a_1+2a_2+3a_3+4a_4=0$ です。辺々引くと $a_2+2a_3+3a_4=0$ で、$(a_3,a_4)$ を自由変数にして解くと解空間は 2 次元で、その基底として $(1,-2,1,0)$、$(0,1,-2,1)$ がとれます（どちらも 2 式を満たすことは代入で確かめられ、線形独立です）。$\dim U+\dim U^{0}=2+2=4=\dim K^4$ で 定理 3.4 の 1 と一致します。

4. 商空間

次に「割る」側へ移ります。$U$ を $V$ の部分空間とし、$\boldsymbol{v},\boldsymbol{v}'\in V$ が $\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}'\in U$ を満たすとき $\boldsymbol{v}\sim\boldsymbol{v}'$ と書きます。これは同値関係で、$\boldsymbol{v}$ の同値類は $\boldsymbol{v}+U=\{\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}\mid\boldsymbol{u}\in U\}$（$U$ による剰余類）です。同値関係の一般論は 関係と同値関係、剰余類の演算については 商群 の議論と同じ形です。

定義 4.1（商空間）↗

剰余類全体の集合を $V/U$ と書く。演算を

$$(\boldsymbol{v}+U)+(\boldsymbol{v}'+U)=(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}')+U,\qquad c(\boldsymbol{v}+U)=c\boldsymbol{v}+U$$

で定めると、$V/U$ は $K$ 上のベクトル空間になる。これを $V$ の $U$ による商空間といい、$\pi:V\to V/U$、$\pi(\boldsymbol{v})=\boldsymbol{v}+U$ を商写像（自然な射影）という。

剰余類は $\boldsymbol{v}+U=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{u}+U$（$\boldsymbol{u}\in U$）のように代表元の取り方が何通りもあります。代表元を使って足し算を定めたので、代表元を替えても結果が変わらないことを確かめる必要があります。演算が代表元の選び方によらないことを確かめます。$\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}\in U$、$\boldsymbol{v}'_1-\boldsymbol{v}'\in U$ とすると、$(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}'_1)-(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}')\in U$ と $c\boldsymbol{v}_1-c\boldsymbol{v}\in U$ から $\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}'_1+U=\boldsymbol{v}+\boldsymbol{v}'+U$ および $c\boldsymbol{v}_1+U=c\boldsymbol{v}+U$ が従います。ベクトル空間の公理は、$V$ での計算を代表元に対して行うことで成り立ちます。零元は $\boldsymbol{0}+U=U$ です。$\pi$ は定義から線形な全射で、$\ker\pi=U$（$\boldsymbol{v}+U=U\iff\boldsymbol{v}\in U$）です。

R^2 の部分空間 U（太線）による剰余類。V/U の元は U に平行な直線であり、直線全体が 1 次元の空間をなす。

命題 4.2（商空間の次元）✓

$V$ を有限次元、$U$ を部分空間とする。$U$ の基底 $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k$ を $V$ の基底 $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k,\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_{n-k}$ に延長すると、$\pi(\boldsymbol{w}_1),\ldots,\pi(\boldsymbol{w}_{n-k})$ は $V/U$ の基底である。とくに

$$\dim V/U=\dim V-\dim U .$$

証明（命題 4.2）

生成性: $\boldsymbol{v}=\sum a_i\boldsymbol{u}_i+\sum b_j\boldsymbol{w}_j$ とすると、$\pi(\boldsymbol{u}_i)=0$ より $\pi(\boldsymbol{v})=\sum b_j\pi(\boldsymbol{w}_j)$。線形独立性: $\sum b_j\pi(\boldsymbol{w}_j)=0$ とすると $\sum b_j\boldsymbol{w}_j\in\ker\pi=U$ なので、$\sum b_j\boldsymbol{w}_j=\sum a_i\boldsymbol{u}_i$ と書けます。基底の線形独立性から、すべての $a_i,b_j$ が $0$ です。

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定理 4.3（線形版の準同型定理）✓

$T:V\to W$ を線形写像、$U\subseteq\ker T$ を部分空間とする。このとき

1. $\bar T\circ\pi=T$ を満たす線形写像 $\bar T:V/U\to W$ がただ一つ存在する。$\bar T(\boldsymbol{v}+U)=T\boldsymbol{v}$ である。
2. $\operatorname{im}\bar T=\operatorname{im}T$、$\ker\bar T=(\ker T)/U=\{\boldsymbol{v}+U\mid\boldsymbol{v}\in\ker T\}$。
3. （準同型定理）$U=\ker T$ のとき、$\bar T$ は単射で、$V/\ker T$ から $\operatorname{im}T$ への線形同型

$$V/\ker T\;\cong\;\operatorname{im}T$$

を与える。

証明（定理 4.3）

1. $\bar T(\boldsymbol{v}+U)=T\boldsymbol{v}$ が代表元によらないことを確かめます。$\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}'\in U\subseteq\ker T$ ならば $T\boldsymbol{v}-T\boldsymbol{v}'=T(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}')=0$ です。よって $\bar T$ は写像として定まり、定義 4.1 の演算と $T$ の線形性から線形です。$\bar T\circ\pi=T$ は定義そのもので、$\pi$ が全射なので $\bar T\circ\pi=T$ を満たす写像は $\bar T$ しかありません。
2. 像は $\operatorname{im}\bar T=\{T\boldsymbol{v}\}=\operatorname{im}T$。核は $\bar T(\boldsymbol{v}+U)=0\iff T\boldsymbol{v}=0\iff\boldsymbol{v}\in\ker T$ から従います。
3. $U=\ker T$ ならば 2 より $\ker\bar T=\{\boldsymbol{0}+U\}$ で、$\bar T$ は単射です。像は $\operatorname{im}T$ なので、$\bar T$ は $V/\ker T$ から $\operatorname{im}T$ への同型です。

∎

群の準同型定理（第一同型定理（定理 5.1）［群の準同型定理］）では「$G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi$」でした。ベクトル空間は加法群でもあるので、本質的に同じ定理が、スカラー倍についても整合する形で成り立っています。そして有限次元では、準同型定理と 命題 4.2 を合わせると次元定理が従います。$\dim V-\dim\ker T=\dim V/\ker T=\dim\operatorname{im}T$ です。次元定理の「核を削った分だけ像が残る」という内容は、準同型定理では「核を割ると単射になる」という構造の主張になっています。

例 4.4（商空間の例）

1. $V=M_n(\mathbb{R})$、$T=\operatorname{tr}$ とすると $\operatorname{tr}$ は全射なので、$V/\ker(\operatorname{tr})\cong\mathbb{R}$ です。トレース $0$ の行列を無視すると、残るのはトレースの値だけです。
2. $V=K[x]_{\le3}$、$T=d/dx:V\to K[x]_{\le2}$（標数 $0$ の体 $K$）は全射で $\ker T=K$（定数）なので、$V/K\cong K[x]_{\le2}$。「定数の差を無視した多項式」は、導関数と 1 対 1 に対応します。
3. $\mathbb{R}^3$ を $U=\operatorname{span}\{(1,1,1)^{\mathsf{T}}\}$ で割ると、$\dim\mathbb{R}^3/U=2$ で、$\mathbb{R}^3/U\to\mathbb{R}^2$、$\boldsymbol{x}\mapsto(x_1-x_3,x_2-x_3)$ は同型です（$U$ を核にもつ全射）。

商空間と双対空間は互いに他方を記述します。

定理 4.5（商空間・部分空間の双対）✓

$V$ を有限次元、$U$ を $V$ の部分空間とする。

1. $(V/U)^{*}\cong U^{0}$。具体的には $\pi^{t}:(V/U)^{*}\to V^{*}$ は単射で像が $U^{0}$ である。
2. 制限写像 $\rho:V^{*}\to U^{*}$、$f\mapsto f|_{U}$ は全射で核が $U^{0}$。したがって $V^{*}/U^{0}\cong U^{*}$。

証明（定理 4.5）

1. $g\in(V/U)^{*}$ に対し $\pi^{t}g=g\circ\pi$ は $U$ 上で $0$ ですから $\pi^{t}g\in U^{0}$ です。$\pi$ が全射なので $g\circ\pi=0$ なら $g=0$ で、$\pi^{t}$ は単射です。逆に $f\in U^{0}$ は $U\subseteq\ker f$ を満たすので、定理 4.3 の 1 により $f=\bar f\circ\pi$ となる線形形式 $\bar f:V/U\to K$ がとれ、$f=\pi^{t}\bar f$ です。よって像は $U^{0}$ です。
2. $\ker\rho=U^{0}$ は定義です。全射性: $h\in U^{*}$ とし、$U$ の基底 $\boldsymbol{u}_i$ を $V$ の基底に延長して、延長部分の基底ベクトルでの値を $0$ と定めて $f\in V^{*}$ を作ると $f|_U=h$ です。準同型定理（定理 4.3） の 3 を $\rho$ に適用して $V^{*}/U^{0}\cong U^{*}$ を得ます。

∎

1 は、商空間上の線形形式を「$U$ 上で $0$ な線形形式」として表すということです。2 は、部分空間の上の線形形式はつねに全体に延長できる（$V$ が有限次元で基底が延長できるおかげ）ことを言っています。

もう一つ、商空間の使い道を挙げます。線形変換 $T:V\to V$ と、$T(U)\subseteq U$ を満たす部分空間 $U$（$T$ 不変という）を考えます。このとき $T$ は $U$ への制限 $T|_U$ と、$V/U$ 上の写像 $\bar T(\boldsymbol{v}+U)=T\boldsymbol{v}+U$ を定めます（$\boldsymbol{v}-\boldsymbol{v}'\in U$ なら $T\boldsymbol{v}-T\boldsymbol{v}'\in U$ なので well-defined）。

次の命題は、$T$ が $U$ を外に出さないとき、$U$ の基底を先頭に並べた基底では表現行列の左下が $0$ のブロックになる、という主張です。右下のブロックが商空間 $V/U$ 上の写像 $\bar T$ の表現行列になります。

命題 4.6（不変部分空間と分割された表現行列）✓

$U$ が $T$ 不変であるとき、$U$ の基底 $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k$ を $V$ の基底 $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k,\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_{n-k}$ に延長すると、$T$ の表現行列は

$$\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}$$

の形で、$A$ は $T|_U$ の表現行列、$D$ は $\bar T$ の基底 $\pi(\boldsymbol{w}_j)$ に関する表現行列である。

証明（命題 4.6）

$T\boldsymbol{u}_j\in U$ なので、$T\boldsymbol{u}_j$ は $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k$ だけの線形結合です。よって左下のブロックは $0$ で、左上のブロック $A$ は $T|_U$ の表現行列です。$T\boldsymbol{w}_j=\sum_ib_{ij}\boldsymbol{u}_i+\sum_ld_{lj}\boldsymbol{w}_l$ に $\pi$ を作用させると、$\pi(\boldsymbol{u}_i)=0$ より $\bar T(\pi(\boldsymbol{w}_j))=\sum_ld_{lj}\pi(\boldsymbol{w}_l)$ です。これは $D$ が $\bar T$ の表現行列であることを示します（命題 4.2 より $\pi(\boldsymbol{w}_l)$ は $V/U$ の基底）。

∎

このブロック三角化は、行列の分解と標準形 のシュール分解（正方行列を適当な基底で上三角にそろえる分解）で「固有ベクトルを 1 本見つけたら、残りの商空間に帰着する」という帰納法の骨格になります。

5. 直和と射影

定義 5.1（直和）↗

$U,W$ を $V$ の部分空間とする。任意の $\boldsymbol{v}\in V$ が $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$（$\boldsymbol{u}\in U$、$\boldsymbol{w}\in W$）の形にただ一通りに書けるとき、$V$ は $U$ と $W$ の（内部）直和であるといい、$V=U\oplus W$ と書く。$W$ を $U$ の補空間という。

直和は $U+W=V$（存在）と書き方の一意性（$\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}'+\boldsymbol{w}'\Rightarrow\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}',\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}'$）の 2 条件です。

命題 5.2（直和の判定と次元公式）✓

$U,W$ を有限次元ベクトル空間 $V$ の部分空間とする。

1. $\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$。
2. $V=U\oplus W$ であることは、次の各条件と同値である。
   • (a) $U+W=V$ かつ $U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$。
   • (b) $U+W=V$ かつ $\dim U+\dim W=\dim V$。
   • (c) $U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ かつ $\dim U+\dim W=\dim V$。

証明（命題 5.2）

1. $U\cap W$ の基底 $\boldsymbol{z}_1,\ldots,\boldsymbol{z}_s$ を、$U$ の基底 $\boldsymbol{z}_1,\ldots,\boldsymbol{z}_s,\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_p$ と $W$ の基底 $\boldsymbol{z}_1,\ldots,\boldsymbol{z}_s,\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_q$ に延長します。$\boldsymbol{z}_i,\boldsymbol{u}_j,\boldsymbol{w}_l$ が $U+W$ の基底であることを示せば、$\dim(U+W)=s+p+q$ で主張が従います（$\dim U=s+p$、$\dim W=s+q$）。これらが $U+W$ を張るのは明らかです。線形独立性: $\sum a_i\boldsymbol{z}_i+\sum b_j\boldsymbol{u}_j+\sum c_l\boldsymbol{w}_l=0$ とすると、$\sum c_l\boldsymbol{w}_l=-\sum a_i\boldsymbol{z}_i-\sum b_j\boldsymbol{u}_j\in U$ ですから、これは $U\cap W$ に入り $\sum c_l\boldsymbol{w}_l=\sum d_i\boldsymbol{z}_i$ と書けます。$W$ の基底の線形独立性から $c_l=0$、$d_i=0$ です。残りは $\sum a_i\boldsymbol{z}_i+\sum b_j\boldsymbol{u}_j=0$ となり $U$ の基底の独立性から $a_i=b_j=0$ です。

2. 直和 $\Rightarrow$ (a): 一意性より、$\boldsymbol{x}\in U\cap W$ に対し $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}+\boldsymbol{x}$ が 2 通りの書き方で、$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ です。(a) $\Rightarrow$ 直和: $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}=\boldsymbol{u}'+\boldsymbol{w}'$ なら $\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}'=\boldsymbol{w}'-\boldsymbol{w}\in U\cap W=\{0\}$ です。(a) $\Rightarrow$ (b)、(c) は 1 から従います。(b) $\Rightarrow$ (a): 1 より $\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\dim V=0$。(c) $\Rightarrow$ (a): 1 より $\dim(U+W)=\dim V$、よって 有限次元空間の基本性質（命題 5.7）［ベクトル空間と線形変換］ の 3 から $U+W=V$ です。

∎

定理 5.3（補空間の存在と商空間との同型）✓

$V$ を有限次元とし、$U$ を部分空間とする。

1. $V=U\oplus W$ となる部分空間 $W$ が存在する。
2. $V=U\oplus W$ ならば、$\pi|_W:W\to V/U$ は線形同型である。とくに、補空間 $W$ は一意ではないが、どの補空間も $V/U$ と同型である。

証明（定理 5.3）

1. $U$ の基底 $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k$ を $V$ の基底 $\boldsymbol{u}_1,\ldots,\boldsymbol{u}_k,\boldsymbol{w}_1,\ldots,\boldsymbol{w}_{n-k}$ に延長し、$W=\operatorname{span}(\boldsymbol{w}_j)$ とします。基底の性質から $U+W=V$、$U\cap W=\{0\}$ です。
2. $\ker(\pi|_W)=W\cap U=\{0\}$ で単射。$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$ に対し $\pi(\boldsymbol{v})=\pi(\boldsymbol{w})$ ですから全射です。

∎

補空間が一意でないことは、命題 4.2 の $\boldsymbol{w}_j$ を $\boldsymbol{w}_j+\boldsymbol{u}$（$\boldsymbol{u}\in U$）に変えても条件が保たれることから分かります。$\mathbb{R}^2$ で $U$ が $x$ 軸ならば、$x$ 軸以外のどの直線も補空間です。内積があれば直交補空間 $U^{\perp}$ という特別な補空間が選べます（直交分解定理（定理 7.1）［内積空間とグラム・シュミット直交化］）。

直和分解は、$P^2=P$ を満たす写像で言い換えられます。

定義 5.4（射影）↗

線形写像 $P:V\to V$ が $P^{2}=P$ を満たすとき、$P$ を射影（冪等な写像）という。

次の定理は、「空間を 2 つの部分空間に分ける」ことと「射影という 1 つの写像を決める」ことが同じ情報だと述べています。たとえば $\mathbb{R}^2$ を $x$ 軸と $y$ 軸の直和とみると、対応する射影は $(x,y)\mapsto(x,0)$ です。3 はこれを 3 つ以上の部分空間に広げたもので、証明は ⇒（分解から射影を作る）と ⇐（射影から分解を作る）の 2 方向に分かれています。

定理 5.5（直和分解と射影の対応）✓

$V$ を有限次元ベクトル空間とする。

1. $P$ が射影ならば、$V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ であり、$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$（$\boldsymbol{u}\in\operatorname{im}P$、$\boldsymbol{w}\in\ker P$）に対し $P\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$。また $I-P$ も射影で、$\operatorname{im}(I-P)=\ker P$、$\ker(I-P)=\operatorname{im}P$。
2. 逆に $V=U\oplus W$ ならば、$P\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}$（$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w}$）で定まる $P$ は射影で、$\operatorname{im}P=U$、$\ker P=W$ である。
3. $V=U_1\oplus\cdots\oplus U_k$（各 $\boldsymbol{v}$ が $\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}_1+\cdots+\boldsymbol{u}_k$、$\boldsymbol{u}_i\in U_i$ とただ一通りに書ける）であることは、射影 $P_1,\ldots,P_k$ で

$$P_iP_j=0\ (i\ne j),\qquad P_1+\cdots+P_k=I,\qquad\operatorname{im}P_i=U_i$$

を満たすものが存在することと同値である。

証明（定理 5.5）

1. $\boldsymbol{v}=P\boldsymbol{v}+(\boldsymbol{v}-P\boldsymbol{v})$ で、$P\boldsymbol{v}\in\operatorname{im}P$、$P(\boldsymbol{v}-P\boldsymbol{v})=P\boldsymbol{v}-P^2\boldsymbol{v}=0$ です。よって $V=\operatorname{im}P+\ker P$。$\boldsymbol{x}\in\operatorname{im}P\cap\ker P$ なら $\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}$ として $\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{y}=P^2\boldsymbol{y}=P\boldsymbol{x}=0$ です。命題 5.2 の (a) により直和です。$\boldsymbol{u}=P\boldsymbol{y}\in\operatorname{im}P$ には $P\boldsymbol{u}=P^2\boldsymbol{y}=\boldsymbol{u}$ なので、$P(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w})=\boldsymbol{u}$ です。$(I-P)^2=I-2P+P^2=I-P$ より $I-P$ も射影で、$(I-P)\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}-P\boldsymbol{v}$ から像と核の主張が出ます。
2. $P$ は直和の一意性から well-defined で線形です。$P\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}$（$\boldsymbol{u}\in U$）なので $P^2=P$、$\operatorname{im}P=U$、$P\boldsymbol{v}=0\iff\boldsymbol{u}=0\iff\boldsymbol{v}\in W$ です。
3. $\Rightarrow$: 各 $\boldsymbol{v}$ の第 $i$ 成分を取り出す写像を $P_i$ とします。直和の一意性から $P_i$ は線形で、$P_i\boldsymbol{u}_i=\boldsymbol{u}_i$、$j\ne i$ では $P_i\boldsymbol{u}_j=0$ ですから所定の性質を満たします。$\Leftarrow$: $\boldsymbol{v}=I\boldsymbol{v}=\sum_iP_i\boldsymbol{v}$ から存在が従い、$\boldsymbol{v}=\sum_i\boldsymbol{u}_i$（$\boldsymbol{u}_i\in U_i=\operatorname{im}P_i$）とすると、$P_i\boldsymbol{u}_i=\boldsymbol{u}_i$（$\boldsymbol{u}_i=P_i\boldsymbol{y}$ なので $P_i\boldsymbol{u}_i=P_i^2\boldsymbol{y}=\boldsymbol{u}_i$）かつ $P_i\boldsymbol{u}_j=P_iP_j\boldsymbol{y}'=0$ です。$P_i$ を $\boldsymbol{v}$ に作用させると $P_i\boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}_i$ で、成分が $\boldsymbol{v}$ から決まるので一意です。

∎

例 5.6（斜めの射影）

$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ とすると $P^2=P$ です。$\operatorname{im}P=\operatorname{span}\{(1,0)^{\mathsf{T}}\}$、$\ker P=\operatorname{span}\{(1,-1)^{\mathsf{T}}\}$ ですから、$P$ は $x$ 軸への射影ですが、$\boldsymbol{v}$ から $x$ 軸へ垂直に降ろす直交射影ではなく、$(1,-1)$ 方向に沿って降ろす射影です。たとえば $P(0,1)^{\mathsf{T}}=(1,0)^{\mathsf{T}}$ です。直交射影になるのは、$\ker P=(\operatorname{im}P)^{\perp}$ のとき、すなわち $P=P^{*}$ のときです。

注意 5.7

スペクトル定理（スペクトル定理（定理 4.2）［スペクトル定理］）は、この言葉で書けます。エルミート行列 $A$ の相異なる固有値を $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ とすると、固有空間 $E_i$ の直和が全空間で、対応する射影 $P_i$ は直交射影です。そして $A=\sum_i\lambda_iP_i$ と書けます。行列の分解と標準形で扱う「分解」とは、空間をいくつかの不変な部分空間の直和に分け、各部分では $T$ を簡単な形で表すという操作のことです。

6. 演習

演習 6.1易

$\mathbb{R}^3$ の基底 $\boldsymbol{b}_1=(1,1,0)^{\mathsf{T}}$、$\boldsymbol{b}_2=(0,1,1)^{\mathsf{T}}$、$\boldsymbol{b}_3=(1,0,1)^{\mathsf{T}}$ の双対基底を、$x,y,z$ の線形式として求めよ。

解答

$\boldsymbol{b}_j$ を列にもつ行列を $P=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$ とします。双対基底の元 $b^{i}(\boldsymbol{x})=\sum_ka_{ik}x_k$ の係数行ベクトルを並べた行列 $Q=(a_{ik})$ は、$b^{i}(\boldsymbol{b}_j)=\delta_{ij}$ すなわち $QP=I$ を満たします。したがって $Q=P^{-1}$ です。$\det P=2$ で

$$P^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$$

（$PP^{-1}=I$ を掛けて確かめられます）。よって $b^{1}=\tfrac12(x+y-z)$、$b^{2}=\tfrac12(-x+y+z)$、$b^{3}=\tfrac12(x-y+z)$ です。

演習 6.2標準

$V=M_n(\mathbb{R})$、$U$ を対称行列全体とする。線形写像 $T(X)=X-X^{\mathsf{T}}$ に 定理 4.3 を適用して、商空間 $V/U$ が交代行列の空間と同型であることを示し、$\dim V/U$ を求めよ。

解答

$T(X)^{\mathsf{T}}=X^{\mathsf{T}}-X=-T(X)$ なので $\operatorname{im}T$ は交代行列の空間 $S$ に含まれます。逆に交代行列 $Y$ に対し $T(Y/2)=\tfrac12(Y-Y^{\mathsf{T}})=Y$ なので $\operatorname{im}T=S$ です。$\ker T=\{X\mid X=X^{\mathsf{T}}\}=U$ ですから、準同型定理より $V/U\cong S$ です。$\dim V=n^2$、$\dim U=n(n+1)/2$ なので $\dim V/U=n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$ です。

演習 6.3標準

$K=\mathbb{R}$ とし、$P:V\to V$ を有限次元空間上の射影とする。$\operatorname{tr}P=\operatorname{rank}P$ を示せ。

解答

定理 5.5 の 1 より $V=\operatorname{im}P\oplus\ker P$ です。$\operatorname{im}P$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_r$ と $\ker P$ の基底 $\boldsymbol{e}_{r+1},\ldots,\boldsymbol{e}_n$ を合わせて $V$ の基底とします。$P\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i$（$i\le r$）、$P\boldsymbol{e}_i=0$（$i>r$）なので、$P$ の表現行列は $\operatorname{diag}(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$（$1$ が $r$ 個）です。トレースは基底の取り方によらず（特性多項式の相似不変性（定理 4.4）［固有値と固有ベクトル］ の 1）$r=\operatorname{rank}P$ です。

演習 6.4難

$U,W$ を有限次元空間 $V$ の部分空間とする。$(U+W)^{0}=U^{0}\cap W^{0}$ と $(U\cap W)^{0}=U^{0}+W^{0}$ を示せ。

解答

前者: $f$ が $U+W$ 上で $0$ であることは、$U$ 上でも $W$ 上でも $0$ であることと同値です。後者: $U\cap W\subseteq U$ より $U^{0}\subseteq(U\cap W)^{0}$、同様に $W^{0}\subseteq(U\cap W)^{0}$ なので $U^{0}+W^{0}\subseteq(U\cap W)^{0}$。次元を比べます。前者と 定理 3.4 の 1、命題 5.2 の 1 より

$$\dim(U^{0}+W^{0})=\dim U^{0}+\dim W^{0}-\dim(U+W)^{0}=(n-\dim U)+(n-\dim W)-(n-\dim(U+W))=n-\dim(U\cap W)$$

で、これは $\dim(U\cap W)^{0}$ に等しい。包含かつ同次元なので等号です。

参考文献

• S. Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed., Springer, 2015 — 第 3 章（3.E 商空間、3.F 双対空間）。
• P. R. Halmos, Finite-Dimensional Vector Spaces, 2nd ed., Springer, 1974 — 双対空間・零化空間・直和を扱う節。
• 斎藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会、1966 — 線形写像と双対空間に関する章。
• 佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974 — 商空間と直和分解に関する章。