数学 › 線形代数学 › 双対空間と商空間

直和の判定と次元公式

命題 5.2（「双対空間と商空間」§5）・ ✓公理まで証明済み

$U,W$ を有限次元ベクトル空間 $V$ の部分空間とする。

$\dim(U+W)=\dim U+\dim W-\dim(U\cap W)$ 。
$V=U\oplus W$ $V = U \oplus W$ であることは、次の各条件と同値である。
- (a) $U+W=V$ かつ $U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ 。
- (b) $U+W=V$ かつ $\dim U+\dim W=\dim V$ 。
- (c) $U\cap W=\{\boldsymbol{0}\}$ かつ $\dim U+\dim W=\dim V$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
- 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
  - 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 4 件

直和分解と射影の対応✓定理 5.5・双対空間と商空間
作用素ノルムと最良低階数近似✓命題 4.3・行列の分解と標準形
シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形
クーラン・フィッシャーの最大最小原理✓定理 3.1・行列の固有値評価と不等式

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