有限次元空間の基本性質

命題 5.7（「ベクトル空間と線形変換」§5）・ ✓公理まで証明済み

$V$ を $\dim V = n$ の有限次元ベクトル空間とする。

$V$ の $n+1$ 個以上のベクトルの組は必ず線形従属である。
$V$ の線形独立な組 $(\boldsymbol{u}_1, \ldots, \boldsymbol{u}_k)$ は、適当なベクトルを付け加えて $V$ の基底に延長できる。
$V$ の部分空間 $U$ は有限次元で $\dim U \le n$ であり、 $\dim U = n$ となるのは $U = V$ のときに限る。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 5 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
- 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換
  - 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
- 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）