次元定理

定理 7.3（「ベクトル空間と線形変換」§7）・ ✓公理まで証明済み

$V, W$ を体 $K$ 上のベクトル空間、 $f : V \to W$ を線形写像とする。 $V$ が有限次元ならば $\operatorname{Ker} f$ と $\operatorname{Im} f$ はともに有限次元であり、

\dim V = \dim \operatorname{Ker} f + \dim \operatorname{Im} f

が成り立つ。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
- 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換
  - ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
- ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
- 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
  - 生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換
    部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
- 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）