グラム行列の核

補題 3.3（「なぜ機械学習に数学が必要か」§3）・ ✓公理まで証明済み

任意の $X\in\mathbb{R}^{n\times d}$ に対して $\ker(X^{\mathsf{T}}X)=\ker X$ が成り立つ。したがって $\operatorname{rank}(X^{\mathsf{T}}X)=\operatorname{rank}(X)$ であり、 $d$ 次正方行列 $X^{\mathsf{T}}X$ が正則であることと、 $X$ の $d$ 本の列ベクトルが線形独立であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
- 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
  - 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

最小二乗解の閉じた式✓系 3.4・なぜ機械学習に数学が必要か
最小二乗損失に対する勾配降下法の収束✓定理 4.4・なぜ機械学習に数学が必要か

グラム行列の核

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件