数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

有理化は完全性を保つ

補題 7.1（「Morse 理論」§7）・ ✓公理まで証明済み

(1) $A\xrightarrow{\phi}B\xrightarrow{\psi}C$ が $B$ で完全ならば、 $A_{\mathbb{Q}}\to B_{\mathbb{Q}}\to C_{\mathbb{Q}}$ も $B_{\mathbb{Q}}$ で完全である。

(2) 有限次元ベクトル空間の完全列 $0\to V_m\to V_{m-1}\to\cdots\to V_0\to0$ について $\sum_{j=0}^m(-1)^j\dim V_j=0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 8 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換
- 核と像の基本性質✓命題 7.2・ベクトル空間と線形変換
  - 部分空間の判定条件✓命題 4.2・ベクトル空間と線形変換
    ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
  - ベクトル空間の初等的性質✓命題 3.2・ベクトル空間と線形変換
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Riemann 面の Riemann–Roch の定理✓命題 9.4・層コホモロジーと直線束
交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論