Morse 理論：臨界点から多様体の胞体構造と Morse 不等式を読む

0. この記事の要点

山の地図で水位を少しずつ上げていくと、水に沈む部分の形が変わるのは、水面が窪地・峠・山頂の高さを通るときだけです。この記事は、そのことを曲面や高次元の図形（多様体）の上で正確に述べ、図形の穴の個数が、高さを測る関数の窪地・峠・山頂の個数より多くならないことを示します。読み終えると、トーラスなどの穴の個数を、関数 1 つの窪地・峠・山頂を数えて調べられるようになります。

• 滑らかな関数 $f\colon M\to\mathbb{R}$ の臨界点で Hessian（2 階微分の行列）が非退化なものは、適当な座標で $f=f(p)-u_1^2-\cdots-u_\lambda^2+u_{\lambda+1}^2+\cdots+u_n^2$ と書けます（Morse の補題）。負の平方の個数 $\lambda$ が指数です。
• コンパクト多様体を $\mathbb{R}^N$ に埋め込み、座標の 1 次式を足すと、ほとんどすべての係数で Morse 関数になります（Sard の定理。臨界値全体は「大きさ 0」の集合だ、という定理です）。したがって Morse 関数は存在し、どの関数にもいくらでも近いものがあります。
• 臨界値を含まない区間 $[a,b]$ では、勾配流（$f$ が増える向きに点を押していく流れ）が劣位集合 $M^a=f^{-1}((-\infty,a])$（水位 $a$ 以下の部分）を $M^b$ へ微分同相に移し、$M^a$ は $M^b$ の変位レトラクト（$M^b$ を $M^a$ へ連続的に縮められる、ということ）です。
• 指数 $\lambda$ の臨界点を通過すると、劣位集合のホモトピー型は $\lambda$ 次元の胞体を 1 つ接着した形に変わります。
• 相対ホモロジーの長完全列から、Betti 数 $b_k$（$k$ 次元の穴の個数にあたる数）と指数 $k$ の臨界点の個数 $C_k$ の間の Morse 不等式 $b_k\le C_k$、$\chi(M)=\sum(-1)^kC_k$ などが従います。
• 応用として、トーラスの高さ関数、$\mathbb{C}P^n$ の Betti 数、臨界点が 2 個だけの閉多様体は球面と同相であるという Reeb の定理を証明します。

この記事で使う事前知識

• 臨界点と臨界値: 関数の微分が $0$ になる点と、その点での値。→ 臨界点
• Sard の定理: 滑らかな写像の臨界値の集合は測度 $0$（体積 $0$）である、という定理。→ 部分多様体と正則値定理
• ベクトル場の流れ: ベクトル場の向きに点を動かしていく 1 パラメータの微分同相の族。→ ベクトル場の流れ
• Riemann 計量: 各接空間に内積を与えるもの。勾配を決めるのに使います。→ Riemann 計量
• 変位レトラクト: 空間 $X$ を、部分空間 $A$ の点を動かさずに $A$ へ連続的に縮められるとき、$A$ を $X$ の変位レトラクトという。→ 変位レトラクト
• ホモロジー群と長完全列: 空間の穴を数える群と、対の間の完全列（切除定理・五項補題もここで使います）。→ ホモロジー群

1. 動機

山岳地帯の地図を思い浮かべてください。水位を $a$ まで上げたとき水に沈む部分を $M^a$ とすると、水位が上がるにつれて $M^a$ は大きくなります。形（位相）が変わるのは、水位が山頂・峠・窪地の高さを通過するときだけです。窪地を越えると新しい島（湖）が生まれ、峠を越えると 2 つの湖がつながり、山頂を越えると穴が埋まります。Morse 理論は、この直観を任意次元の多様体で厳密にしたものです。

鍵になるのは 2 点です。第一に、臨界点の近くで関数の形が 2 次形式に「標準化」できること（Morse の補題）。第二に、臨界点のない区間では勾配の流れに沿って水面を押し下げられること。この 2 つを組み合わせると、多様体を胞体の積み重ねとして組み立てられ、関数の臨界点の個数が多様体のホモロジーを下から抑えます。

Morse 理論は、測地線の変分（測地線と完備性 の第二変分公式と共役点の理論）を道の空間の Morse 理論として読み直すことで Bott の周期性定理を生み、Smale の高次元 Poincaré 予想の証明、Floer ホモロジー、超対称量子力学（Witten）へとつながりました。この記事ではその出発点である有限次元の理論を、使う事実をすべて既出の章にさかのぼれる形で証明します。

2. 非退化臨界点と指数

以下、$M$ は Hausdorff かつ第二可算な $n$ 次元の滑らかな多様体（境界なし）、$f\colon M\to\mathbb{R}$ は滑らかな関数とします。$df_p=0$ となる点 $p$ を $f$ の臨界点、臨界点の像を臨界値と呼びます（定義 7.3［部分多様体と正則値定理］ の $N=\mathbb{R}$ の場合です）。

定義 2.1（Hessian と非退化臨界点）↗

$p$ を $f$ の臨界点とし、$p$ のまわりのチャート $(U,x)$ を取る。対称行列

$$H_x(p)=\left(\frac{\partial^2 (f\circ x^{-1})}{\partial x_i\,\partial x_j}(x(p))\right)_{i,j=1}^n$$

が正則のとき $p$ を非退化臨界点という。$H_x(p)$ の負の固有値の個数（重複度込み）を $p$ の指数といい $\operatorname{ind}(p)$ と書く。すべての臨界点が非退化な関数を Morse 関数という。

この定義がチャートによらないことを確かめます。

命題 2.2（Hessian の変換則）✓

$p$ を $f$ の臨界点、$(U,x)$、$(V,y)$ を $p$ のまわりのチャートとし、$J$ を座標変換 $x\circ y^{-1}$ の $y(p)$ における Jacobi 行列とする。このとき

$$H_y(p)=J^{\mathsf{T}}H_x(p)\,J$$

が成り立つ。したがって非退化性と指数はチャートの取り方によらない。

証明（命題 2.2）

$g=f\circ x^{-1}$、$\phi=x\circ y^{-1}$ とおくと $f\circ y^{-1}=g\circ\phi$ です。連鎖律で 1 回微分すると

$$\frac{\partial (g\circ\phi)}{\partial y_k}=\sum_i\frac{\partial g}{\partial x_i}(\phi(y))\,\frac{\partial\phi_i}{\partial y_k}(y),$$

もう 1 回微分すると

$$\frac{\partial^2 (g\circ\phi)}{\partial y_l\,\partial y_k}=\sum_{i,j}\frac{\partial^2 g}{\partial x_j\,\partial x_i}\,\frac{\partial\phi_j}{\partial y_l}\,\frac{\partial\phi_i}{\partial y_k}+\sum_i\frac{\partial g}{\partial x_i}\,\frac{\partial^2\phi_i}{\partial y_l\,\partial y_k}$$

です。$p$ は臨界点なので $\partial g/\partial x_i=0$（$x(p)$ において）で、第 2 項が消えます。残る第 1 項が $(J^{\mathsf{T}}H_xJ)_{kl}$ です。$J$ は正則（系 7.5［接ベクトル空間と接バンドル］）なので、$H_y(p)$ が正則であることと $H_x(p)$ が正則であることは同値です。さらに 定理 6.1［行列の分解と標準形］ (2) により、正則行列による合同変換 $J^{\mathsf{T}}H_xJ$ は負の固有値の個数を変えません。

∎

臨界点でない点では第 2 項が残るので、2 階微分の行列は座標に依存します。Hessian が「臨界点でだけ」意味を持つのはこのためです。

例 2.3（2 次形式）

$f(u)=-u_1^2-\cdots-u_\lambda^2+u_{\lambda+1}^2+\cdots+u_n^2$ を $\mathbb{R}^n$ 上の関数とすると、臨界点は原点だけで、Hessian は $\operatorname{diag}(-2,\dots,-2,2,\dots,2)$ です。原点は非退化で指数は $\lambda$ です。指数 $0$ は極小、指数 $n$ は極大、その間は鞍点です。一方 $f(u)=u_1^3$ や $f(u_1,u_2)=u_1^3-3u_1u_2^2$（猿の鞍）の原点は Hessian が $0$ で退化しています。

3. Morse の補題

非退化臨界点の近くで、関数は例の 2 次形式そのものになります。証明には Taylor の定理の積分形を使います。

補題 3.1（Taylor の積分形（2 次））✓

$B\subset\mathbb{R}^n$ を原点を中心とする開球、$g\colon B\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とする。$h_{ij}(x)=\int_0^1(1-t)\,\partial_i\partial_jg(tx)\,dt$ とおくと、$h_{ij}$ は $B$ 上で滑らか、$h_{ij}=h_{ji}$、$h_{ij}(0)=\tfrac12\partial_i\partial_jg(0)$ であり、

$$g(x)=g(0)+\sum_i\partial_ig(0)\,x_i+\sum_{i,j}x_ix_j\,h_{ij}(x)\qquad(x\in B).$$

証明（補題 3.1）

$x\in B$ を固定し、$\gamma(t)=g(tx)$（$t\in[0,1]$）とおきます。$B$ は凸なので $tx\in B$ です。部分積分により

$$\int_0^1(1-t)\gamma''(t)\,dt=\bigl[(1-t)\gamma'(t)\bigr]_0^1+\int_0^1\gamma'(t)\,dt=-\gamma'(0)+\gamma(1)-\gamma(0)$$

なので $\gamma(1)=\gamma(0)+\gamma'(0)+\int_0^1(1-t)\gamma''(t)dt$ です。連鎖律から $\gamma'(0)=\sum_i\partial_ig(0)x_i$、$\gamma''(t)=\sum_{i,j}\partial_i\partial_jg(tx)x_ix_j$ で、これを代入すると等式を得ます。被積分関数は $(t,x)$ について滑らかで $t$ の範囲がコンパクトなので、積分記号下の微分により $h_{ij}$ は滑らかです。対称性は $\partial_i\partial_jg=\partial_j\partial_ig$ から、$h_{ij}(0)=\partial_i\partial_jg(0)\int_0^1(1-t)dt$ から従います。

∎

定理 3.2（Morse の補題）✓

$p$ を $f$ の非退化臨界点、指数を $\lambda$ とする。$p$ のまわりのチャート $(U,u)$、$u(p)=0$ で、$U$ 上

$$f=f(p)-u_1^2-\cdots-u_\lambda^2+u_{\lambda+1}^2+\cdots+u_n^2$$

となるものが存在する（Morse チャート）。

証明（定理 3.2）

任意のチャートを取り、平行移動して $p$ が原点、$f(p)=0$ とします。原点を中心とする開球 $B$ 上で 補題 3.1 を使うと、$\partial_if(0)=0$ なので

$$f(x)=\sum_{i,j}x_ix_j\,h_{ij}(x),\qquad h_{ij}=h_{ji},\quad \bigl(h_{ij}(0)\bigr)=\tfrac12H(p)$$

で、$(h_{ij}(0))$ は正則です。次を $r=1,\dots,n+1$ について帰納的に示します。

主張 $(\mathrm{P}_r)$.　原点のまわりの座標 $u_1,\dots,u_n$（原点を原点に写す）と、符号 $\sigma_1,\dots,\sigma_{r-1}\in\{\pm1\}$、原点の近くで滑らかな対称行列値関数 $(H_{ij})_{i,j\ge r}$ で、$(H_{ij}(0))_{i,j\ge r}$ が正則であり

$$f=\sum_{i<r}\sigma_iu_i^2+\sum_{i,j\ge r}u_iu_j\,H_{ij}(u)$$

となるものがある。

$(\mathrm{P}_1)$ は上の式です。$(\mathrm{P}_r)$ を仮定し、$r\le n$ とします。

まず $H_{rr}(0)\ne0$ にできることを示します。正則な対称行列 $A=(H_{ij}(0))_{i,j\ge r}$ は $0$ ではないので、ある $v$ で $v^{\mathsf{T}}Av\ne0$ です（対角成分がすべて $0$ なら、$A_{ij}\ne0$ となる $i\ne j$ について $v=e_i+e_j$ で $v^{\mathsf{T}}Av=2A_{ij}$）。$u_r,\dots,u_n$ に線形変換を施して $v$ を第 $r$ 座標方向の基底にすると、新しい行列は合同変換 $S^{\mathsf{T}}AS$ になり、その $(r,r)$ 成分は $v^{\mathsf{T}}Av\ne0$ です。この変換で $(\mathrm{P}_r)$ の形は保たれます。

原点の近傍で $H_{rr}\ne0$ が保たれるように近傍を小さくし、

$$v_r=\sqrt{|H_{rr}(u)|}\,\Bigl(u_r+\sum_{i>r}u_i\frac{H_{ir}(u)}{H_{rr}(u)}\Bigr),\qquad v_i=u_i\ (i\ne r)$$

とおきます。$\partial v_r/\partial u_r(0)=\sqrt{|H_{rr}(0)|}\ne0$ で、他の行は単位行列の行なので、原点での Jacobi 行列は正則です。逆関数定理（定理 2.1［部分多様体と正則値定理］）により $v$ は原点のある近傍で座標になります。平方完成すると、$\sigma_r=\operatorname{sign}H_{rr}(0)$ として

$$\sum_{i,j\ge r}u_iu_jH_{ij}=H_{rr}\Bigl(u_r+\sum_{i>r}u_i\frac{H_{ir}}{H_{rr}}\Bigr)^2+\sum_{i,j>r}u_iu_j\Bigl(H_{ij}-\frac{H_{ir}H_{jr}}{H_{rr}}\Bigr)=\sigma_rv_r^2+\sum_{i,j>r}v_iv_jH'_{ij}$$

です。ここで $H'_{ij}=H_{ij}-H_{ir}H_{jr}/H_{rr}$ を $v$ の関数とみたもので、対称で滑らかです。$v$ 座標での $f$ の原点における Hessian は $\operatorname{diag}(2\sigma_1,\dots,2\sigma_r)\oplus2(H'_{ij}(0))_{i,j>r}$ であり、命題 2.2 によりこれは正則なので、$(H'_{ij}(0))_{i,j>r}$ も正則です。以上で $(\mathrm{P}_{r+1})$ が示されました。

$(\mathrm{P}_{n+1})$ は $f=\sum_{i=1}^n\sigma_iu_i^2$ を意味します。このチャートでの Hessian は $\operatorname{diag}(2\sigma_i)$ で、命題 2.2 により負の $\sigma_i$ の個数は $\lambda$ です。座標の番号を並べ替えれば主張の形になります。

∎

系 3.3（非退化臨界点は孤立する）✓

非退化臨界点 $p$ は、$p$ 以外の臨界点を含まない近傍を持つ。とくにコンパクト多様体上の Morse 関数の臨界点は有限個である。

証明（系 3.3）

Morse チャートで $df=\sum_i\pm2u_i\,du_i$ なので、$df=0$ となるのは $u=0$ だけです。コンパクトな $M$ 上で臨界点が無限個あれば、臨界点の集合（$df$ の零点集合なので閉）は集積点を持ち、それも臨界点ですが孤立していないので矛盾です。

∎

4. Morse 関数の存在と稠密性

Morse 関数は「たくさん」あります。コンパクト多様体を Euclid 空間に埋め込み、座標の 1 次式を足すと、係数を測度 $0$ の集合の外から選ぶ限り Morse 関数になります。

定理 4.1（Morse 関数の存在と稠密性）✓

$M$ をコンパクトな $m$ 次元多様体、$F=(F_1,\dots,F_N)\colon M\to\mathbb{R}^N$ を埋め込み（定理 8.1［部分多様体と正則値定理］ により存在する）、$f\colon M\to\mathbb{R}$ を滑らかな関数とする。$a\in\mathbb{R}^N$ に対し

$$f_a=f+\langle a,F\rangle=f+a_1F_1+\cdots+a_NF_N$$

とおく。$f_a$ が Morse 関数でないような $a$ の集合は $\mathbb{R}^N$ で測度 $0$ である。とくに、

1. $M$ 上に Morse 関数が存在する（$f=0$ とすれば、ほとんどすべての 1 次関数 $\langle a,F\rangle$ が Morse）。
2. 任意の $\delta>0$ に対し $|a|<\delta$ で $f_a$ が Morse となる $a$ が存在する。このとき、任意のチャート $(U,x)$、コンパクト集合 $K\subset U$、多重指数 $\alpha$ について $\sup_{x(K)}|\partial^\alpha((f_a-f)\circ x^{-1})|\le|a|\cdot\sup_{x(K)}\bigl(\sum_l|\partial^\alpha(F_l\circ x^{-1})|^2\bigr)^{1/2}$ であり、$f$ にいくらでも近い（任意階の導関数まで込めて）Morse 関数がある。

証明の方針です。「悪い係数 $a$」とは、$f_a$ が退化した臨界点を持つような $a$ のことです。臨界点の条件を $a$ について解き直すと、$(x,c)$ から $a$ への滑らかな写像 $G$ が得られ、悪い $a$ はちょうど $G$ の臨界値になります。Sard の定理は臨界値の集合が測度 $0$ だと言うので、悪い $a$ は例外的にしかありません。$G$ の Jacobi 行列がブロック上三角になるのは、$G$ の第 2 成分が $c$ そのものだからです。

証明（定理 4.1）

局所的にグラフで書く。　$p\in M$ とします。$F$ は埋め込みなので $dF_p$ は単射で、Jacobi 行列（任意のチャートで $N\times m$）の階数は $m$ です。線形独立な $m$ 行を選び、その座標を $F$ の成分の番号の並べ替えにより $F_1,\dots,F_m$ とします。$\pi\colon\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^m$ を最初の $m$ 成分への射影とすると $d(\pi\circ F)_p$ は同型なので、逆関数定理（系 2.2［部分多様体と正則値定理］）により、$p$ の開近傍 $W$ と $\psi=\pi\circ F|_W$ が $W$ から開集合 $U\subset\mathbb{R}^m$ への微分同相になります。すなわち $\psi$ はチャートで、その座標では

$$F\circ\psi^{-1}(x)=(x,h(x)),\qquad h=(h_1,\dots,h_{N-m})\colon U\to\mathbb{R}^{N-m}$$

と書けます（$h_l=F_{m+l}\circ\psi^{-1}$）。$a=(b,c)\in\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^{N-m}$ と分けると、$\tilde f=f\circ\psi^{-1}$ として

$$f_a\circ\psi^{-1}(x)=\tilde f(x)+\langle b,x\rangle+\langle c,h(x)\rangle .$$

悪い係数は臨界値である。　$G\colon U\times\mathbb{R}^{N-m}\to\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^{N-m}$ を

$$G(x,c)=\bigl(-\nabla(\tilde f+\langle c,h\rangle)(x),\ c\bigr)$$

で定めます。$x$ が $f_a\circ\psi^{-1}$ の臨界点であることは $\nabla\tilde f(x)+b+\sum_lc_l\nabla h_l(x)=0$、すなわち $G(x,c)=(b,c)=a$ と同値です。$G$ の Jacobi 行列は

$$DG(x,c)=\begin{pmatrix}-\operatorname{Hess}(\tilde f+\langle c,h\rangle)(x)&\ast\\0&I_{N-m}\end{pmatrix}$$

というブロック上三角形で、$\langle b,x\rangle$ は 1 次式なので $\operatorname{Hess}(\tilde f+\langle c,h\rangle)=\operatorname{Hess}(f_a\circ\psi^{-1})$ です。したがって、$f_a$ が $W$ 内に退化臨界点 $\psi^{-1}(x)$ を持てば、$(x,c)$ は $G$ の臨界点で $a=G(x,c)$ は $G$ の臨界値です。Sard の定理（定理 7.4［部分多様体と正則値定理］。$G$ は $\mathbb{R}^N$ の開集合から $\mathbb{R}^N$ への滑らかな写像）により、そのような $a$ の集合 $B_W$ は測度 $0$ です。

貼り合わせ。　$M$ はコンパクトなので、上のような $W$ の有限個 $W_1,\dots,W_k$ で覆えます。非退化性はチャートによらない（命題 2.2）ので、$a\notin B_{W_1}\cup\dots\cup B_{W_k}$ ならば $f_a$ のすべての臨界点は非退化です。測度 $0$ の集合の有限和は測度 $0$ です（覆う立方体の列を合わせればよい）。

帰結。　測度 $0$ の集合は空でない開集合を含まないので（定義 7.1［部分多様体と正則値定理］ の直後の注意）、どの開球 $\{|a|<\delta\}$ にも良い $a$ があります。これが 1 と 2 の存在部分です。評価は $\partial^\alpha(f_a-f)=\sum_la_l\partial^\alpha F_l$ に Cauchy–Schwarz の不等式を使えば得られます。

∎

注意 4.2

非コンパクトな多様体でも、適当な固有な（すなわち逆像がコンパクト集合を保つ）Morse 関数が存在し、Morse 関数は $C^\infty$ 位相（Whitney 位相）で開かつ稠密です。証明には非コンパクト版の Whitney 埋め込みが要るので、この記事ではコンパクトの場合だけを扱います。また 2 の評価から、$C^2$ 級で十分近い関数は臨界点の個数と指数を保つことも示せます（Morse 関数の安定性）。

5. 臨界値を含まない区間

劣位集合を $M^a=f^{-1}((-\infty,a])=\{q\in M:f(q)\le a\}$ と書きます。勾配流を使うためにRiemann 計量 $g$ を 1 つ固定します（定理 3.6［Riemann 計量と Levi-Civita 接続］）。$f$ の勾配 $\operatorname{grad}f$ を、すべての接ベクトル $X$ について $g(\operatorname{grad}f,X)=df(X)$ となるベクトル場と定めます。座標では $\operatorname{grad}f=\sum_{i,j}g^{ij}\partial_jf\,\partial_i$ で、滑らかです。$df(\operatorname{grad}f)=|\operatorname{grad}f|^2$ は臨界点の外で正です。

定理 5.1（臨界値を含まない区間の変形）✓

$a\lt b$ とし、$f^{-1}([a,b])$ がコンパクトで $f$ の臨界点を含まないとする。このとき

1. 微分同相 $\Phi\colon M\to M$ で $\Phi(M^a)=M^b$、$\Phi(f^{-1}(a))=f^{-1}(b)$ となるものが存在する。
2. $M^a$ は $M^b$ の変位レトラクトである（定義 2.6［基本群と被覆空間］）。とくに包含 $M^a\hookrightarrow M^b$ はホモトピー同値で、ホモロジーの同型を誘導する。

証明の方針です。勾配を $|\operatorname{grad}f|^2$ で割ったベクトル場 $\operatorname{grad}f/|\operatorname{grad}f|^2$ に沿って点を流すと、時間 $t$ たつごとに $f$ の値がちょうど $t$ だけ増えます。そこで時間 $b-a$ だけ流せば水位 $a$ の等位面が水位 $b$ の等位面に移ります。下の (＊) は「$[a,b]$ の中にいる間は本当にその速さで進む」ことの確認で、上限を取るのは、その性質が成り立つ最大の時間まで進めても破れないことを言うためです。

証明（定理 5.1）

ベクトル場の構成。　$K=f^{-1}([a,b])$、$\mathrm{Crit}$ を臨界点の集合（$df$ の零点なので閉）とします。$K\subset M\setminus\mathrm{Crit}$ で、$M$ は局所コンパクト Hausdorff なので、補題 2.3［局所コンパクト空間］ により閉包がコンパクトな開集合 $V$ で $K\subset V\subset\overline V\subset M\setminus\mathrm{Crit}$ となるものが取れます。系 6.4［部分多様体と正則値定理］ により、滑らかな $\rho\colon M\to[0,1]$ で $K$ 上 $\rho=1$、$\operatorname{supp}\rho\subset V$ となるものを取ります。$\operatorname{supp}\rho$ はコンパクトな $\overline V$ の閉部分集合なのでコンパクトです。

$$X=\begin{cases}\rho\,\dfrac{\operatorname{grad}f}{|\operatorname{grad}f|^2}&(M\setminus\mathrm{Crit}\text{ 上})\\[2mm]0&(M\setminus\operatorname{supp}\rho\text{ 上})\end{cases}$$

は二つの開集合の上で滑らかで、重なりでは一致するので $M$ 上の滑らかなベクトル場です。台がコンパクトなので完備で（命題 2.7［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）、流れ $\theta_t$ は各 $t\in\mathbb{R}$ について $M$ の微分同相、$\theta_s\circ\theta_t=\theta_{s+t}$ です（定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］）。

$f$ の時間変化。　$q\in M$ について $\varphi_q(t)=f(\theta_t(q))$ とおくと、$\varphi_q'(t)=df(X)(\theta_t(q))=\rho(\theta_t(q))\in[0,1]$ です。よって $\varphi_q$ は非減少で、傾きは $1$ 以下です。さらに次が成り立ちます。

(＊) $a\le f(q)\le b$ ならば、$a\le f(q)+t\le b$ となるすべての $t$ について $f(\theta_t(q))=f(q)+t$。

実際、$t\ge0$ の側で、$T=\sup\{s\ge0:\ f(q)+s\le b,\ [0,s]\text{ 上で }\varphi_q(t)=f(q)+t\}$ とします。$\varphi_q$ の連続性から $\varphi_q(T)=f(q)+T$ です。$f(q)+T\lt b$ と仮定すると、$\varphi_q(T)\in[a,b)$ で、連続性からある $\eta>0$ について $[T,T+\eta]$ 上 $\varphi_q\lt b$、単調性から $\varphi_q\ge a$ です。この区間で $\theta_t(q)\in K$ なので $\rho=1$、$\varphi_q'=1$ で、$[0,T+\eta]$ 上 $\varphi_q(t)=f(q)+t$ となり $T$ の定義に反します。$t\le0$ の側も同様です。

1 の証明。　$\Phi=\theta_{b-a}$ とします。$f(q)\le a$ ならば、傾きが $1$ 以下なので $f(\Phi(q))\le f(q)+(b-a)\le b$ です。逆に $f(q')\le b$ とし、$q=\theta_{a-b}(q')$ とします。$f(q')\le a$ なら単調性から $f(q)\le f(q')\le a$。$a\lt f(q')\le b$ なら (＊) により $f(\theta_{a-f(q')}(q'))=a$ で、$a-b\le a-f(q')$ と単調性から $f(q)\le a$ です。いずれも $\Phi(q)=q'$ なので $\Phi(M^a)=M^b$ です。$f(q)=a$ なら (＊) により $f(\Phi(q))=b$、$f(q')=b$ なら $f(\theta_{a-b}(q'))=a$ なので $\Phi(f^{-1}(a))=f^{-1}(b)$ です。

2 の証明。　$H\colon M^b\times[0,1]\to M^b$ を

$$H(q,s)=\begin{cases}q&(f(q)\le a)\\ \theta_{s(a-f(q))}(q)&(a\le f(q)\le b)\end{cases}$$

で定めます。二つの場合は閉集合で、境界 $f(q)=a$ では両方とも $q$ なので、貼り合わせ補題（補題 7.2［連結性］）と $\theta$ の連続性により $H$ は連続です。(＊) により $a\le f(q)\le b$ のとき $f(H(q,s))=f(q)+s(a-f(q))\in[a,b]$ なので $H$ は $M^b$ に値を持ち、$H(q,1)\in f^{-1}(a)\subset M^a$、$H(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$M^a$ 上で $H(q,s)=q$ です。ホモロジーの同型は 系 4.2［特異ホモロジー］ から従います。

∎

勾配を $|\operatorname{grad}f|^2$ で割るのは、流れの時間と $f$ の値の増分を一致させるためです。仮定の「$f^{-1}([a,b])$ がコンパクト」を外すと結論は壊れます。たとえば $M=\mathbb{R}^2\setminus\{(0,1)\}$、$f(x,y)=y$ は臨界点を持ちませんが、$M^0$ は可縮で $M^2$ は円周とホモトピー同値です。流れが除いた点に「当たって」途中で止まるからです。

6. 臨界点の通過と胞体の接着

臨界点 $p$ を Morse チャート $(U,u)$ で見て、$f(p)=c$、指数 $\lambda$ とし、

$$\xi=u_1^2+\cdots+u_\lambda^2,\qquad \eta=u_{\lambda+1}^2+\cdots+u_n^2,\qquad f=c-\xi+\eta$$

と書きます。$\xi$ は $f$ が減る方向の「深さ」、$\eta$ は増える方向の「高さ」です。$M^{c-\varepsilon}$ は $\xi-\eta\ge\varepsilon$ の部分で、ここに $u_1,\dots,u_\lambda$ 方向の円板

$$e=\{\xi\le\varepsilon,\ \eta=0\}$$

を足すと、$M^{c+\varepsilon}$ の形がとらえられる、というのが次の定理の内容です。$e$ の境界 $\{\xi=\varepsilon,\eta=0\}$ だけが $M^{c-\varepsilon}$ に触れています。

指数 1 の臨界点 p のまわりの Morse チャート（n = 2）。横軸 u₁ の方向に f は減り、縦軸 u₂ の方向に f は増える。網かけの左右の領域が $M^{c-\epsilon }$（双曲線 $f=c-\epsilon$ の外側）、点線が等位線 $f=c+\epsilon$。$M^{c-\epsilon }$ に太線の 1 胞体 $e=\{\xi \le \epsilon ,\eta =0\}$ を足したものが $M^{c+\epsilon }$ の変位レトラクトになる。

定理 6.1（臨界点の通過と胞体の接着）✓

$c\in\mathbb{R}$、$\varepsilon_0>0$ とし、$f^{-1}([c-\varepsilon_0,c+\varepsilon_0])$ がコンパクトで、そこに含まれる $f$ の臨界点が $p_1,\dots,p_k$ だけであり、いずれも非退化で $f(p_i)=c$、指数 $\lambda_i$ とする。このとき十分小さいすべての $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ について、互いに交わらない部分集合 $e_1,\dots,e_k\subset M$ と同相写像 $h_i\colon D^{\lambda_i}\to e_i$ で

$$e_i\cap M^{c-\varepsilon}=h_i(S^{\lambda_i-1})\quad(\lambda_i=0\text{ のときは空集合})$$

となるものがあり、$M^{c-\varepsilon}\cup e_1\cup\cdots\cup e_k$ は $M^{c+\varepsilon}$ の変位レトラクトである。とくに包含はホモトピー同値である。

証明の方針です。臨界点 $p$ の近くで $f$ を少し押し下げた関数 $F$ を作ります。$F$ は $p$ での値が $c-\varepsilon$ より下に落ちるので、$[c-\varepsilon,c+\varepsilon]$ に臨界点がなくなり、前節の流れで $M^{c+\varepsilon}$ を $\{F\le c-\varepsilon\}$ へ縮められます。押し下げに使う補助関数 $\mu$ は、原点の近くでは大きく下げ、離れるとなめらかに $0$ に戻る山形の関数で、$\mu'$ が $-\tfrac9{10}$ 以上であることが $F$ の増減の向きを保つために要ります。次に (d) で、$\{F\le c-\varepsilon\}$ の「余分な取っ手」の部分を、$f$ が増える向きの座標 $u_+$ に沿って潰します。縮める量を $t\in[0,1]$ で表した写像が $r_t$ で、$t=1$ で何もせず、$t=0$ で $u_+$ 方向を（$\xi\le\varepsilon$ のとき）完全に潰します。残るのが $\lambda$ 次元の円板 $e_i$ です。

証明（定理 6.1）

準備。　定理 3.2 により各 $p_i$ の Morse チャート $(U_i,u^{(i)})$ を取り、$M$ が Hausdorff であることから $U_i$ を互いに交わらないように小さくします。各チャートで上のように $\xi,\eta$ を定め（添字 $i$ は省きます）、$\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$ を閉球 $\{|u|^2\le2\varepsilon\}$ がすべての $u^{(i)}(U_i)$ に含まれるように小さく取ります。楕円体 $E_i=\{\xi+2\eta\le2\varepsilon\}$（$|u|^2\le\xi+2\eta$ なのでこの閉球に含まれ、$M$ のコンパクト集合とみなせる）と

$$e_i=\{\xi\le\varepsilon,\ \eta=0\},\qquad h_i(v)=\bigl(u^{(i)}\bigr)^{-1}(\sqrt\varepsilon\,v,0)\quad(v\in D^{\lambda_i})$$

を定めます。$e_i$ 上では $f=c-\xi$ なので、$f\le c-\varepsilon$ と $\xi=\varepsilon$ は同値で、$e_i\cap M^{c-\varepsilon}=h_i(S^{\lambda_i-1})$ です。

補助関数 $\mu$。　系 6.4［部分多様体と正則値定理］ を $\mathbb{R}$ に適用し、滑らかな $\psi\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ で $[\tfrac1{10},\tfrac9{10}]$ 上 $\psi=1$、$\operatorname{supp}\psi\subset(0,1)$ となるものを取ります。$\operatorname{supp}\psi$ はコンパクトなので、ある $\delta>0$ で $\operatorname{supp}\psi\subset[\delta,1-\delta]$ です。

$$\mu(r)=\tfrac95\varepsilon\int_{r/(2\varepsilon)}^{1}\psi(t)\,dt$$

とおくと、$\mu'(r)=-\tfrac9{10}\psi(r/2\varepsilon)\in[-\tfrac9{10},0]$、$\mu(0)\ge\tfrac95\varepsilon\cdot\tfrac45=\tfrac{36}{25}\varepsilon>\varepsilon$、$r\ge2\varepsilon(1-\delta)$ で $\mu(r)=0$ です。

関数 $F$。　各 $U_i$ 上で $F=f-\mu(\xi+2\eta)$、$U_i$ の外で $F=f$ と定めます。$\mu(\xi+2\eta)$ はコンパクト集合 $\{\xi+2\eta\le2\varepsilon(1-\delta)\}$ の外で $0$ なので、$F$ は $M$ 上で滑らかで、$F\le f$ です。$U_i$ 上では $F=c-\xi+\eta-\mu(\xi+2\eta)$ で

$$\frac{\partial F}{\partial\xi}=-1-\mu'\le-\tfrac1{10}\lt0,\qquad \frac{\partial F}{\partial\eta}=1-2\mu'\ge1 .$$

この $F$ について次の (a)〜(d) を示します。

(a) $F^{-1}((-\infty,c+\varepsilon])=M^{c+\varepsilon}$。$F\le f$ から $\supset$ です。逆に $F(q)\le c+\varepsilon$ とします。$q\notin\bigcup E_i$ なら $f(q)=F(q)$。$q\in E_i$ なら $f(q)=c-\xi+\eta\le c+\tfrac12\xi+\eta\le c+\varepsilon$ です。

(b) $F$ の臨界点は $p_1,\dots,p_k$ と、$\bigcup E_i$ の外にある $f$ の臨界点だけである。$U_i$ 上では

$$dF=\frac{\partial F}{\partial\xi}\sum_{j\le\lambda}2u_j\,du_j+\frac{\partial F}{\partial\eta}\sum_{j>\lambda}2u_j\,du_j$$

で、上の符号から $dF=0$ は $u=0$ のときに限ります。$\bigcup_i\{\xi+2\eta\le2\varepsilon(1-\delta)\}$ の外では $F=f$ です。

(c) $N:=F^{-1}((-\infty,c-\varepsilon])$ は $M^{c+\varepsilon}$ の変位レトラクトである。$c-\varepsilon\le F(q)\le c+\varepsilon$ ならば $f(q)\ge F(q)\ge c-\varepsilon$、(a) より $f(q)\le c+\varepsilon$ なので、$F^{-1}([c-\varepsilon,c+\varepsilon])$ はコンパクト集合 $f^{-1}([c-\varepsilon,c+\varepsilon])$ の閉部分集合でコンパクトです。(b) より、そこにある $F$ の臨界点は $p_i$ だけですが、$F(p_i)=c-\mu(0)\lt c-\varepsilon$ なので含まれません。定理 5.1 を $F$ と区間 $[c-\varepsilon,c+\varepsilon]$ に適用し、(a) を使えば主張を得ます。

(d) $M^{c-\varepsilon}\cup\bigcup e_i$ は $N$ の変位レトラクトである。まず $e_i\subset N$ です：$e_i$ 上 $F=c-\xi-\mu(\xi)$ で、$\xi+\mu(\xi)$ は（$\mu'>-1$ より）増加関数で $\xi=0$ で $\mu(0)>\varepsilon$ なので、$F\le c-\varepsilon$。次に $E_i$ の中では $f\le c-\varepsilon$ と $\xi\ge\eta+\varepsilon$ が同値で、$E_i$ の外では $F=f$ なので

$$N=M^{c-\varepsilon}\cup A_1\cup\cdots\cup A_k,\qquad A_i=N\cap E_i\cap\{\xi\le\eta+\varepsilon\}$$

です（$A_i$ はコンパクト）。$t\in[0,1]$ について $r_t\colon N\to N$ を、$M^{c-\varepsilon}$ 上では恒等写像、$A_i$ 上では座標 $u=(u_-,u_+)$（$u_-=(u_1,\dots,u_\lambda)$、$u_+=(u_{\lambda+1},\dots,u_n)$）で

$$r_t(u_-,u_+)=\begin{cases}(u_-,\ t\,u_+)&(\xi\le\varepsilon)\\[1mm](u_-,\ s_t\,u_+),\quad s_t=t+(1-t)\sqrt{(\xi-\varepsilon)/\eta}&(\varepsilon\le\xi\le\eta+\varepsilon)\end{cases}$$

と定めます（第 2 の場合で $\eta=0$ なら $\xi=\varepsilon$、$u_+=0$ で、値は $(u_-,0)$ とする）。

• 連続性。　$\xi=\varepsilon$ では $s_t=t$ で二式は一致します。第 2 の場合 $|(1-t)\sqrt{(\xi-\varepsilon)/\eta}\,u_+|\le\sqrt{\xi-\varepsilon}\le\sqrt\eta$ なので $\eta\to0$ でも連続です。$M^{c-\varepsilon}\cap A_i=\{\xi=\eta+\varepsilon\}$ では $s_t=1$（または $u_+=0$）で $r_t=\mathrm{id}$ となり、恒等写像と一致します。各片は閉集合なので、貼り合わせ補題（補題 7.2［連結性］）により $(q,t)\mapsto r_t(q)$ は連続です。
• $N$ に留まる。　$r_t$ は $u_-$ を保ち $\eta$ を減らすだけです（$t\le1$、$s_t\le1$）。よって $E_i$ に留まり、$F$ は $\eta$ について増加なので $F$ も増えません。第 2 の場合、新しい $\eta$ は $s_t^2\eta\ge\xi-\varepsilon$ なので $\{\xi\le\eta+\varepsilon\}$ にも留まります。
• 端点。　$r_1=\mathrm{id}$ です。$r_0$ は第 1 の場合 $(u_-,0)\in e_i$、第 2 の場合は新しい $\eta$ が $\xi-\varepsilon$ になり $f=c-\varepsilon$、すなわち $M^{c-\varepsilon}$ に入ります。また $r_t$ は $e_i$（$u_+=0$）と $M^{c-\varepsilon}$ の点を動かしません。

したがって $H(q,s)=r_{1-s}(q)$ が求める変位レトラクションです。

最後に、変位レトラクトの変位レトラクトは変位レトラクトです（$A\subset B\subset C$ で $H_B,H_C$ をそれぞれのレトラクションとすると、$s\le\tfrac12$ で $H_C(x,2s)$、$s\ge\tfrac12$ で $H_B(H_C(x,1),2s-1)$ とつなげばよい）。(c) と (d) から定理が従います。

∎

$\mu$ で関数を臨界点の近くだけ押し下げるのが証明の要点です。$F$ は $p_i$ での値が $c-\varepsilon$ より下に落ちるので、区間 $[c-\varepsilon,c+\varepsilon]$ には $F$ の臨界点がなくなり、定理 5.1 の勾配流が使えます。押し下げによって新たに $N$ に入る部分が「取っ手」で、それを $u_+$ 方向に潰すと胞体 $e_i$ が残ります。

胞体の接着が相対ホモロジーに与える影響は、切除定理で計算できます。

補題 6.2（胞体を足したときの相対ホモロジー）✓

$Z$ を Hausdorff 空間、$X\subset Z$ を閉集合とし、互いに交わらない部分集合 $e_1,\dots,e_k$ と同相写像 $h_i\colon D^{\lambda_i}\to e_i$ があって、$Z=X\cup e_1\cup\cdots\cup e_k$、$X\cap e_i=h_i(S^{\lambda_i-1})$ とする。このとき

$$H_q(Z,X)\cong\mathbb{Z}^{\#\{i:\ \lambda_i=q\}}\qquad(q\ge0).$$

証明（補題 6.2）

$o_i=h_i(0)$、$Y=Z\setminus\{o_1,\dots,o_k\}$ とします。1 点は閉集合なので $Y$ は開集合です。

$X$ は $Y$ の変位レトラクト。　$G(z,s)=z$（$z\in X$）、$G(h_i(v),s)=h_i\bigl((1-s)v+sv/|v|\bigr)$（$0\lt|v|\le1$）とおきます。$e_i$ はコンパクトなので $Z$ で閉、$e_i\setminus\{o_i\}$ は $Y$ で閉です。$X\cap e_i=h_i(S^{\lambda_i-1})$ 上では $v/|v|=v$ なので二式は一致し、貼り合わせ補題により $G$ は連続です。

ホモロジーの比較。　包含 $X\hookrightarrow Y$ はホモロジーの同型を誘導するので（系 4.2［特異ホモロジー］）、対 $(Z,X)$ と $(Z,Y)$ の長完全列（系 3.2［特異ホモロジー］）の間の射に五項補題（補題 3.3［特異ホモロジー］）を使うと $H_q(Z,X)\cong H_q(Z,Y)$ です。$X$ は閉で $Y$ は開、$X\subset Y$ なので、切除定理（定理 5.3［特異ホモロジー］）で $X$ を切り取れます：

$$H_q(Z,Y)\cong H_q(Z\setminus X,\ Y\setminus X)=H_q\Bigl(\bigsqcup_iB_i,\ \bigsqcup_i(B_i\setminus\{o_i\})\Bigr),\qquad B_i=h_i(\operatorname{int}D^{\lambda_i}).$$

$B_i=(Z\setminus X)\setminus\bigcup_{j\ne i}e_j$ は $Z\setminus X$ の開集合で、特異単体の像は連結なのでどれか 1 つの $B_i$ に入ります。よって鎖複体は直和に分かれ、右辺は $\bigoplus_iH_q(B_i,B_i\setminus\{o_i\})$ です。

1 つの胞体。　$\lambda=0$ なら $B=\{o\}$、$B\setminus\{o\}=\varnothing$ で、$H_q(\mathrm{pt})$ は $q=0$ で $\mathbb{Z}$、他は $0$ です（命題 2.4［特異ホモロジー］）。$\lambda\ge1$ なら $B$ は開球と同相で可縮、$B\setminus\{o\}$ は $S^{\lambda-1}$ に変位レトラクトするので、簡約ホモロジーの対の長完全列から

$$H_q(B,B\setminus\{o\})\cong\tilde H_{q-1}(B\setminus\{o\})\cong\tilde H_{q-1}(S^{\lambda-1}),$$

これは 定理 6.1［特異ホモロジー］ により $q=\lambda$ で $\mathbb{Z}$、他は $0$ です。

∎

系 6.3（臨界値をまたぐ相対ホモロジー）✓

定理 6.1 の状況で、十分小さい $\varepsilon>0$ について $H_q(M^{c+\varepsilon},M^{c-\varepsilon})\cong\mathbb{Z}^{\#\{i:\ \lambda_i=q\}}$。

証明（系 6.3）

$Z=M^{c-\varepsilon}\cup\bigcup e_i$ とします。$M^{c-\varepsilon}$ は閉集合なので 補題 6.2 が使え、$H_q(Z,M^{c-\varepsilon})$ は主張の形です。包含 $Z\hookrightarrow M^{c+\varepsilon}$ はホモトピー同値なので、対 $(Z,M^{c-\varepsilon})\to(M^{c+\varepsilon},M^{c-\varepsilon})$ の長完全列の間の射に五項補題を使えば同型を得ます。

∎

注意 6.4

定理 6.1 を繰り返すと、コンパクト多様体 $M$ 上の Morse 関数から「$M$ は指数 $\lambda$ の臨界点 1 個につき $\lambda$ 胞体 1 個を持つ有限 CW 複体（定義 2.1［胞体ホモロジーと写像度］）とホモトピー同値である」ことが従います（Milnor『Morse Theory』Part I §3）。証明には、接着写像をホモトピーで取り替えても接着空間のホモトピー型が変わらないこと、および胞体近似定理が必要で、この記事では主張のみにとどめます。次節の Morse 不等式はこの CW 構造を経由せず、系 6.3 だけから導きます。

7. Morse 不等式

ホモロジー群には、有限位数の元（ねじれ）が混じることがあります。穴の個数を数えたいときにこのねじれは邪魔なので、以下では群を「有理数を係数に許した」ベクトル空間に直し、その次元（階数）で大きさを測ります。こうすると有限群は $0$ と数えられ、完全列の次元の交代和が $0$ になるという線形代数の事実が使えます。

ホモロジー群の「大きさ」を有理数体上の次元で測ります。アーベル群 $G$ に対し、$G_{\mathbb{Q}}$ を形式的な分数 $g/n$（$g\in G$、$n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$）の集合で、$g/n=g'/n'$ を「ある $k\ne0$ で $k(n'g-ng')=0$」と定めたものとします。これは $\mathbb{Q}$ 上のベクトル空間で（$G\otimes\mathbb{Q}$ と自然に同型です）、$\operatorname{rank}G=\dim_{\mathbb{Q}}G_{\mathbb{Q}}$ とおきます。$\mathbb{Z}^r_{\mathbb{Q}}=\mathbb{Q}^r$ なので $\operatorname{rank}\mathbb{Z}^r=r$、有限群は $G_{\mathbb{Q}}=0$ です。準同型 $\phi\colon A\to B$ は $\phi_{\mathbb{Q}}(a/n)=\phi(a)/n$ で線形写像を誘導します。

補題 7.1（有理化は完全性を保つ）✓

(1) $A\xrightarrow{\phi}B\xrightarrow{\psi}C$ が $B$ で完全ならば、$A_{\mathbb{Q}}\to B_{\mathbb{Q}}\to C_{\mathbb{Q}}$ も $B_{\mathbb{Q}}$ で完全である。

(2) 有限次元ベクトル空間の完全列 $0\to V_m\to V_{m-1}\to\cdots\to V_0\to0$ について $\sum_{j=0}^m(-1)^j\dim V_j=0$。

証明（補題 7.1）

(1) $\psi\phi=0$ から $\psi_{\mathbb{Q}}\phi_{\mathbb{Q}}=0$ です。$\psi_{\mathbb{Q}}(b/n)=0$ とすると、ある $k\ne0$ で $k\psi(b)=0$、すなわち $kb\in\ker\psi=\operatorname{im}\phi$ で、$kb=\phi(a)$ と書けます。すると $b/n=kb/(kn)=\phi_{\mathbb{Q}}(a/(kn))$ です。

(2) 写像を $d_j\colon V_j\to V_{j-1}$（$d_0=0$、$d_{m+1}=0$ は $0\to V_m$）とすると、完全性は $\ker d_j=\operatorname{im}d_{j+1}$ で、次元定理（定理 7.3［ベクトル空間と線形変換］）から $\dim V_j=\dim\operatorname{im}d_{j+1}+\dim\operatorname{im}d_j$ です。交代和を取ると望遠鏡的に消えて $0$ になります。

∎

空間の対 $(X,Y)$（$Y\subset X$）について $R_k(X,Y)=\operatorname{rank}H_k(X,Y)$ とし、それが有限のとき

$$S_\lambda(X,Y)=R_\lambda(X,Y)-R_{\lambda-1}(X,Y)+\cdots\pm R_0(X,Y)=\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}R_k(X,Y)$$

とおきます。

補題 7.2（交代和の劣加法性）✓

$Z\subset Y\subset X$ とし、すべての $k$ で $R_k(X,Y)$ と $R_k(Y,Z)$ が有限とする。このとき $R_k(X,Z)$ も有限で、すべての $\lambda\ge0$ について

$$S_\lambda(X,Z)\le S_\lambda(X,Y)+S_\lambda(Y,Z),\qquad R_\lambda(X,Z)\le R_\lambda(X,Y)+R_\lambda(Y,Z).$$

証明（補題 7.2）

特異鎖の短完全列 $0\to C_*(Y)/C_*(Z)\to C_*(X)/C_*(Z)\to C_*(X)/C_*(Y)\to0$（同型定理）に 定理 3.1［特異ホモロジー］ を使うと、三つ組の長完全列

$$\cdots\to H_{\lambda+1}(X,Y)\xrightarrow{\partial}H_\lambda(Y,Z)\to H_\lambda(X,Z)\to H_\lambda(X,Y)\xrightarrow{\partial}H_{\lambda-1}(Y,Z)\to\cdots\to H_0(X,Y)\to0$$

を得ます。補題 7.1 (1) で有理化しても完全です。$H_\lambda(X,Z)_{\mathbb{Q}}$ は両隣の有限次元空間の間にあるので有限次元です（核と像の次元の和）。$K=\operatorname{im}\partial\subset H_\lambda(Y,Z)_{\mathbb{Q}}$ とおくと、

$$0\to K\to H_\lambda(Y,Z)_{\mathbb{Q}}\to H_\lambda(X,Z)_{\mathbb{Q}}\to H_\lambda(X,Y)_{\mathbb{Q}}\to\cdots\to H_0(X,Y)_{\mathbb{Q}}\to0$$

は完全で、補題 7.1 (2) から

$$0\le\dim K=S_\lambda(Y,Z)-S_\lambda(X,Z)+S_\lambda(X,Y)$$

です。2 つ目の不等式は、$H_\lambda(Y,Z)_{\mathbb{Q}}\to H_\lambda(X,Z)_{\mathbb{Q}}\to H_\lambda(X,Y)_{\mathbb{Q}}$ の中央での完全性から、中央の空間の次元が「左からの像」と「右への像」の次元の和に等しいことによります。

∎

コンパクト多様体 $M$ について、$b_k(M)=\operatorname{rank}H_k(M)$ を Betti 数と呼びます（有限であることは次の定理の証明の中で示されます）。

定理 7.3（Morse 不等式）✓

$M$ をコンパクトな $n$ 次元多様体、$f$ を Morse 関数とし、指数 $k$ の臨界点の個数を $C_k$ とする。このとき $b_k(M)$ は有限で、$k>n$ で $b_k=0$ であり、

1. （強 Morse 不等式）すべての $\lambda\ge0$ で $\displaystyle\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}b_k\le\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}C_k$。
2. $\lambda\ge n$ では 1 は等号で、$\displaystyle\chi(M):=\sum_{k=0}^n(-1)^kb_k=\sum_{k=0}^n(-1)^kC_k$。
3. （弱 Morse 不等式）すべての $k$ で $b_k\le C_k$。とくに $f$ の臨界点の総数は $\sum_kb_k$ 以上である。

証明（定理 7.3）

系 3.3 により臨界点は有限個で、臨界値を $c_1\lt\cdots\lt c_r$ とします。実数 $a_0\lt c_1\lt a_1\lt c_2\lt\cdots\lt c_r\lt a_r$ を、$a_0\lt\min f$、$a_r\ge\max f$ となるように取ると、$M^{a_0}=\varnothing$、$M^{a_r}=M$ です。$M$ はコンパクトなので、すべての $f^{-1}([s,t])$ はコンパクトです。

各段の相対ホモロジー。　$i$ を固定し、系 6.3 が使える十分小さい $\varepsilon>0$ を $a_{i-1}\lt c_i-\varepsilon$、$c_i+\varepsilon\lt a_i$ となるように取ります。区間 $[a_{i-1},c_i-\varepsilon]$ と $[c_i+\varepsilon,a_i]$ は臨界値を含まないので、定理 5.1 により包含 $M^{a_{i-1}}\hookrightarrow M^{c_i-\varepsilon}$、$M^{c_i+\varepsilon}\hookrightarrow M^{a_i}$ はホモロジーの同型を誘導します。対の長完全列と五項補題を 2 回使うと

$$H_q(M^{a_i},M^{a_{i-1}})\cong H_q(M^{c_i+\varepsilon},M^{a_{i-1}})\cong H_q(M^{c_i+\varepsilon},M^{c_i-\varepsilon})\cong\mathbb{Z}^{C_q^{(i)}}$$

です。ここで $C_q^{(i)}$ は値 $c_i$ をとる指数 $q$ の臨界点の個数で、$\sum_iC_q^{(i)}=C_q$ です。とくに $q>n$ ではこれらはすべて $0$ です（指数は $n$ 以下）。

積み上げ。　補題 7.2 を $\varnothing=M^{a_0}\subset M^{a_{i-1}}\subset M^{a_i}$ に使い、$i$ についての帰納法で $R_k(M^{a_i},\varnothing)$ は有限で

$$S_\lambda(M^{a_i},\varnothing)\le\sum_{j\le i}S_\lambda(M^{a_j},M^{a_{j-1}}),\qquad R_k(M^{a_i},\varnothing)\le\sum_{j\le i}C_k^{(j)}$$

を得ます。$i=r$ とすると $H_k(M,\varnothing)=H_k(M)$ なので、$b_k$ の有限性、$k>n$ での $b_k=0$、1 と 3 が従います。

等号。　$\lambda\ge n$ とします。1 を $\lambda+1$ に使うと、$b_{\lambda+1}=C_{\lambda+1}=0$ なので

$$-\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}b_k\le-\sum_{k=0}^{\lambda}(-1)^{\lambda-k}C_k,$$

これと 1 を合わせて等号です。$\lambda=n$ の等号に $(-1)^n$ を掛けたものが 2 です。

∎

2 によれば、$\chi(M)$ は関数 $f$ の取り方によりません。有限 CW 複体の Euler 標数がホモロジーで書けること（系 4.3［胞体ホモロジーと写像度］）の Morse 理論版です。

系 7.4（Morse の欠損原理）✓

定理 7.3 の状況で、$C_{\lambda-1}=C_{\lambda+1}=0$ ならば $b_\lambda=C_\lambda$ である（$C_{-1}=0$ とする）。とくに、すべての臨界点の指数が偶数ならば、すべての $k$ で $b_k=C_k$ である。

証明の方針です。$\sigma_\lambda$ は交代和を 1 段ずつ漸化式 $\sigma_\lambda=x_\lambda-\sigma_{\lambda-1}$ で追うための記号です。$C_{\mu+1}=0$ の段では強不等式が上下から挟まって等号になるので、$\lambda$ と $\lambda-2$ の 2 段で等号を得て、そこから $b_\lambda$ を取り出します。

証明（系 7.4）

$\sigma_\lambda(b)=\sum_{k\le\lambda}(-1)^{\lambda-k}b_k$、$\sigma_\lambda(C)$ も同様とおき、$\sigma_{-1}=\sigma_{-2}=0$ とします。強不等式は $\sigma_\lambda(b)\le\sigma_\lambda(C)$ で、$x=b,C$ について $\sigma_\lambda(x)=x_\lambda-\sigma_{\lambda-1}(x)$ です。

$C_{\mu+1}=0$ ならば $\sigma_\mu(b)=\sigma_\mu(C)$ です。実際 $-\sigma_\mu(b)\le b_{\mu+1}-\sigma_\mu(b)=\sigma_{\mu+1}(b)\le\sigma_{\mu+1}(C)=-\sigma_\mu(C)$。

これを $\mu=\lambda$ と $\mu=\lambda-2$ に使うと $\sigma_\lambda(b)=\sigma_\lambda(C)$、$\sigma_{\lambda-2}(b)=\sigma_{\lambda-2}(C)$。弱不等式から $b_{\lambda-1}\le C_{\lambda-1}=0$。よって

$$b_\lambda=\sigma_\lambda(b)+\sigma_{\lambda-1}(b)=\sigma_\lambda(b)+b_{\lambda-1}-\sigma_{\lambda-2}(b)=\sigma_\lambda(C)+C_{\lambda-1}-\sigma_{\lambda-2}(C)=C_\lambda .$$

後半は、$C_k\ne0$ となる $k$ では $k\pm1$ が奇数で $C_{k\pm1}=0$ であること、$C_k=0$ となる $k$ では弱不等式から $b_k=0$ であることから従います。

∎

8. 例と応用

例 8.1（立てたトーラスの高さ関数）

$0\lt r\lt R$ とし、

$$P(\theta,\varphi)=\bigl((R+r\cos\varphi)\cos\theta,\ r\sin\varphi,\ (R+r\cos\varphi)\sin\theta\bigr)$$

の像をトーラス $T\subset\mathbb{R}^3$ とします。中心軸は水平な $y$ 軸で、$T$ は「立てた浮き輪」です。$P$ は周期 $2\pi$ のはめ込みで各点の近くで単射なので、$(\theta,\varphi)$ は $T$ の局所座標になります。高さ関数 $h=z|_T$ は

$$h=(R+r\cos\varphi)\sin\theta,\qquad h_\theta=(R+r\cos\varphi)\cos\theta,\qquad h_\varphi=-r\sin\varphi\sin\theta .$$

$R+r\cos\varphi>0$ なので $h_\theta=0$ は $\cos\theta=0$、すなわち $\sin\theta=\pm1$ を意味し、そのとき $h_\varphi=0$ は $\sin\varphi=0$ です。臨界点は $(\theta,\varphi)=(\pm\tfrac\pi2,0),(\pm\tfrac\pi2,\pi)$ の 4 個です。2 階微分は

$$h_{\theta\theta}=-(R+r\cos\varphi)\sin\theta,\qquad h_{\varphi\varphi}=-r\cos\varphi\sin\theta,\qquad h_{\theta\varphi}=-r\sin\varphi\cos\theta$$

で、臨界点では $h_{\theta\varphi}=0$ です。

臨界点 $(\theta,\varphi)$	値 $h$	$h_{\theta\theta}$	$h_{\varphi\varphi}$	指数
$(-\tfrac\pi2,0)$	$-(R+r)$	$R+r$	$r$	$0$
$(-\tfrac\pi2,\pi)$	$-(R-r)$	$R-r$	$-r$	$1$
$(\tfrac\pi2,\pi)$	$R-r$	$-(R-r)$	$r$	$1$
$(\tfrac\pi2,0)$	$R+r$	$-(R+r)$	$-r$	$2$

すべて非退化で、$h$ は Morse 関数です。定理 6.1 によれば、劣位集合は値 $-(R+r)$ で円板（0 胞体の太らせ）として生まれ、$-(R-r)$ で 1 胞体が付いて円柱（円周とホモトピー同値）になり、$R-r$ でもう 1 本の 1 胞体が付いて穴のあいたトーラス（2 つの円周の一点和とホモトピー同値）になり、$R+r$ で 2 胞体が付いて閉じます。$C=(1,2,1)$ で、胞体ホモロジー（定理 3.4［胞体ホモロジーと写像度］）から知られるトーラスの Betti 数 $b=(1,2,1)$ と一致するので、Morse 不等式はすべて等号です。$\chi(T)=1-2+1=0$ です。

立てたトーラスを中心軸の方向から見た図。高さ関数 h = z の臨界点は外周の最下点（指数 0）、内周の最下点と最上点（指数 1）、外周の最上点（指数 2）の 4 個。点線はそれぞれの臨界値の水位。

例 8.2（複素射影空間）

$\mathbb{C}P^n$ 上で

$$f([z_0:\cdots:z_n])=\frac{\sum_{j=0}^nj\,|z_j|^2}{\sum_{j=0}^n|z_j|^2}$$

を考えます（同次座標のスカラー倍で不変なので well-defined）。$z_k\ne0$ のチャートで $w_j=z_j/z_k$（$j\ne k$）、$w_j=x_j+iy_j$ とおくと、$N=1+\sum_{j\ne k}|w_j|^2$、$A=k+\sum_{j\ne k}j|w_j|^2$ として $f=A/N$ で

$$\frac{\partial f}{\partial x_j}=\frac{2jx_jN-2x_jA}{N^2}=\frac{2x_j\,(j-f)}{N},\qquad\frac{\partial f}{\partial y_j}=\frac{2y_j\,(j-f)}{N}.$$

臨界点では各 $j\ne k$ について $w_j=0$ または $f=j$ です。$w_j\ne0$ となる $j$ が 2 つ以上あれば $f$ が 2 つの異なる整数に等しくなり矛盾、ちょうど 1 つ（$j$）なら $f=(k+j|w_j|^2)/(1+|w_j|^2)=j$ から $k=j$ となり矛盾です。よってこのチャートの臨界点は $w=0$、すなわち $p_k=[e_k]$ だけです。どの点もいずれかのチャートに入るので、臨界点は $p_0,\dots,p_n$ の $n+1$ 個です。

$w=0$ で上の式をもう 1 回微分すると、$x_j$ を掛けた項は $0$ になり、$\partial^2f/\partial x_i\partial x_j=\partial^2f/\partial y_i\partial y_j=2\delta_{ij}(j-k)$、$\partial^2f/\partial x_i\partial y_j=0$ です。負の固有値は $j\lt k$ の $j$ ごとに 2 個で、$p_k$ は非退化、指数 $2k$ です。$\mathbb{C}P^n$ はコンパクト（$S^{2n+1}$ の連続像）なので、系 7.4 から

$$b_k(\mathbb{C}P^n)=\begin{cases}1&(k=0,2,\dots,2n)\\0&(\text{その他})\end{cases},\qquad\chi(\mathbb{C}P^n)=n+1$$

を得ます。胞体分割から計算した結果（例 3.5［胞体ホモロジーと写像度］）と一致しますが、ここでは胞体分割を知らずに、関数 1 つから Betti 数が決まりました。

定理 8.3（Reeb の球面定理）✓

$M$ を $n\ge1$ 次元のコンパクト多様体とし、臨界点がちょうど 2 個で、どちらも非退化な滑らかな関数 $f$ があるとする。このとき $M$ は $S^n$ と同相である。

証明（定理 8.3）

2 つの臨界点は最小点と最大点。　$M$ はコンパクトなので $f$ は最小点 $p$ と最大点 $q$ を持ち、これらは臨界点です。$f(p)=f(q)$ なら $f$ は定数ですべての点が臨界点になり、臨界点が 2 個であることに反します（$n\ge1$ なので $M$ は無限集合）。よって臨界点は $p,q$ で、$f(p)\lt f(q)$ です。1 次関数で変換して $f(p)=0$、$f(q)=1$ とします。$p$ を原点とするチャートで 補題 3.1 を使うと $f(tv)=\sum_{i,j}t^2v_iv_jh_{ij}(tv)$ で、$h_{ij}(tv)\to\tfrac12H_{ij}(p)$ なので、$v^{\mathsf{T}}H(p)v\lt0$ となる $v$ があれば小さい $t\ne0$ で $f(tv)\lt0=f(p)$ となり最小性に反します。よって Hessian は半正定値で、非退化なので正定値、指数は $0$ です。同様に $q$ の指数は $n$ です。

両端は円板。　定理 3.2 により $p$ の Morse チャート $(U,u)$ で $f=|u|^2$ です。$\delta>0$ を閉球 $\{|u|\le\delta\}$ が $u(U)$ に含まれるように取り、$V=u^{-1}(\{|u|\lt\delta\})$ とします。$M\setminus V$ はコンパクトで、そこでは $f>0$（$f=0$ となる点は最小点で臨界点なので $p$ しかない）なので、その最小値を $m>0$ とします。$0\lt\varepsilon\lt\min(m,\delta^2,\tfrac12)$ ならば $M^\varepsilon=u^{-1}(\{|u|^2\le\varepsilon\})$ で、$v\mapsto u^{-1}(\sqrt\varepsilon\,v)$ は $D^n$ から $M^\varepsilon$ への同相で、$S^{n-1}$ を $f^{-1}(\varepsilon)$ に写します。$-f$ と $q$ に同じ議論を使い、$\varepsilon$ をさらに小さくすると、$D_2=\{f\ge1-\varepsilon\}$ から $D^n$ への同相 $g_2$ で $f^{-1}(1-\varepsilon)$ を $S^{n-1}$ に写すものがあります。

間を流す。　区間 $[\varepsilon,1-\varepsilon]$ は臨界値を含まないので、定理 5.1 の微分同相 $\Phi$ は $M^\varepsilon$ を $D_1=M^{1-\varepsilon}$ に、$f^{-1}(\varepsilon)$ を $f^{-1}(1-\varepsilon)$ に写します。合成して、同相 $g_1\colon D_1\to D^n$ で $f^{-1}(1-\varepsilon)$ を $S^{n-1}$ に写すものを得ます。

貼り合わせ。　$h=g_2\circ g_1^{-1}|_{S^{n-1}}$ は $S^{n-1}$ の同相です。$\Psi\colon M\to S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$ を

$$\Psi(x)=\begin{cases}\bigl(g_1(x),\ -\sqrt{1-|g_1(x)|^2}\bigr)&(x\in D_1)\\[1mm]\bigl(|v|\,h^{-1}(v/|v|),\ \sqrt{1-|v|^2}\bigr),\quad v=g_2(x)&(x\in D_2)\end{cases}$$

と定めます（$v=0$ では第 1 成分を $0$ とし、$|\,|v|h^{-1}(v/|v|)\,|=|v|$ なので連続）。$D_1\cap D_2=f^{-1}(1-\varepsilon)$ 上では $|v|=1$、$h^{-1}(v)=g_1(x)$ なので二式は一致し、貼り合わせ補題により $\Psi$ は連続です。$\Psi$ は $D_1$ を閉じた下半球へ、$D_2$ を閉じた上半球へ全単射に写し（$v\mapsto|v|h^{-1}(v/|v|)$ は $D^n$ の全単射）、赤道上で両者は一致するので、$\Psi$ は全単射です。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続全単射なので同相です（系 6.5［コンパクト性］）。

∎

結論は「同相」であって「微分同相」ではありません。Milnor は 1956 年に、7 次元球面と同相だが微分同相でない多様体（エキゾチック球面）を構成し、その同相の証明にまさにこの定理を使いました。上の証明でも、$h$ の円板への延長（錐による延長）は原点で滑らかとは限りません。

注意 8.4（Morse–Bott 理論と Witten の変形）

Morse–Bott 理論。　対称性のある関数では臨界点が孤立せず、臨界点集合が部分多様体になります（例：$\mathbb{C}P^n$ 上の $|z_0|^2/|z|^2$ の最大値集合は 1 点、最小値集合は $\mathbb{C}P^{n-1}$）。臨界点集合の各連結成分 $Z$ が部分多様体で、Hessian が法方向に非退化なとき $f$ を Morse–Bott 関数と呼びます。このとき臨界値を通過すると、$Z$ 上の負の法束の円板束が接着され、Morse 不等式は $\sum_Z t^{\operatorname{ind}Z}P_t(Z)$（$P_t$ は Poincaré 多項式）を右辺とする形に一般化されます。Bott はこれを測地線のエネルギー汎関数に適用し、コンパクト Lie 群のループ空間のホモトピー群の周期性を証明しました（主張のみ）。

Witten の変形。　Witten は、外微分を $d_t=e^{-tf}de^{tf}$ と変形した Laplace 作用素 $\Delta_t=d_td_t^*+d_t^*d_t$ が

$$\Delta_t=\Delta+t^2|df|^2+t\,(\text{Hessian から決まる 0 階の項})$$

の形になることに注目しました。$t\to\infty$ で固有形式は臨界点の近くに集中し、各臨界点は調和振動子として振る舞って、指数 $k$ の臨界点 1 個が $k$ 形式の小さい固有値 1 個に対応します。Hodge 理論（Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素）により $\Delta_t$ の零固有空間の次元は $b_k$ なので、Morse 不等式が解析的に得られます。さらに臨界点の間の勾配流線を数えることで、臨界点を生成元とする鎖複体（Morse–Smale–Witten 複体）が作られ、そのホモロジーが $M$ のホモロジーに一致します。これが Floer ホモロジーの出発点です（主張のみ）。

9. 演習

演習 9.1易

$S^n\subset\mathbb{R}^{n+1}$（$n\ge1$）上の高さ関数 $f=x_{n+1}$ の臨界点は $\pm e_{n+1}$ の 2 個で、いずれも非退化であり、指数はそれぞれ $n$ と $0$ であることを示せ。また、Morse 不等式から $0\lt k\lt n$ で $b_k(S^n)=0$ であることを導け。

解答

臨界点。　$p\in S^n$、$p\ne\pm e_{n+1}$ とすると、$w=e_{n+1}-\langle e_{n+1},p\rangle p$ は $0$ でなく $p$ に直交します。$v=w/|w|$ として曲線 $\gamma(t)=\cos t\,p+\sin t\,v$ は $S^n$ 上にあり、$\frac{d}{dt}f(\gamma(t))|_{t=0}=\langle e_{n+1},v\rangle=|w|>0$ なので $df_p\ne0$ です。

北極。　$x_{n+1}>0$ の部分は $(x_1,\dots,x_n)$ をチャートとするグラフで、$f=\sqrt{1-|x|^2}$ です。$\partial_if=-x_i/\sqrt{1-|x|^2}$ は $x=0$ でだけ $0$、$\partial_i\partial_jf(0)=-\delta_{ij}$ なので Hessian は $-I$ で、北極は非退化、指数 $n$ です。南極では $f=-\sqrt{1-|x|^2}$、Hessian は $I$、指数 $0$ です。

Betti 数。　$C_0=C_n=1$、他の $C_k=0$ なので、弱 Morse 不等式から $0\lt k\lt n$ で $b_k\le C_k=0$ です。これは 定理 8.3 の状況でもあります。

演習 9.2標準

種数 $g\ge1$ の向き付け可能閉曲面 $\Sigma_g$ 上の Morse 関数は少なくとも $2g+2$ 個の臨界点を持つことを示せ。とくにトーラス上に臨界点がちょうど 3 個の滑らかな関数があれば、それは Morse 関数ではない。さらに、Morse 関数の極小点・鞍点・極大点の個数を $C_0,C_1,C_2$ とすると $C_0-C_1+C_2=2-2g$ であることを示せ。

解答

例 2.2［胞体ホモロジーと写像度］ (d) の胞体分割（0 胞体 1 個、1 胞体 $2g$ 個、2 胞体 1 個）で胞体鎖複体を考えます。0 胞体が 1 個なので各 1 胞体の境界は「終点 − 始点」$=0$ で $d_1=0$ です。2 胞体の境界の語 $a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots$ では各辺が向きを逆にして 2 回現れるので、$d_2$ の各係数は $1-1=0$ です。定理 3.4［胞体ホモロジーと写像度］ から $H_0=\mathbb{Z}$、$H_1=\mathbb{Z}^{2g}$、$H_2=\mathbb{Z}$ で、$b=(1,2g,1)$ です。弱 Morse 不等式から $C_0+C_1+C_2\ge b_0+b_1+b_2=2g+2$。$g=1$ では $4>3$ です。最後の等式は 定理 7.3 の 2 で、$\chi=1-2g+1$ です。

演習 9.3標準

$f\colon M\to\mathbb{R}$、$g\colon N\to\mathbb{R}$ を Morse 関数とすると、$F(x,y)=f(x)+g(y)$ は $M\times N$ 上の Morse 関数で、臨界点は $f$ の臨界点 $x$ と $g$ の臨界点 $y$ の組 $(x,y)$、指数は $\operatorname{ind}x+\operatorname{ind}y$ であることを示せ。これを使って $b_k(S^2\times S^2)$ を求めよ。

解答

積チャート（命題 5.1［微分可能多様体の定義］）$(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_l)$ で $\partial F/\partial x_i=\partial f/\partial x_i$、$\partial F/\partial y_j=\partial g/\partial y_j$ なので、$dF=0$ は $df_x=0$ かつ $dg_y=0$ と同値です。臨界点での Hessian は $\partial^2F/\partial x_i\partial y_j=0$ なのでブロック対角 $H_f(x)\oplus H_g(y)$ で、正則性と負の固有値の個数はブロックごとに足されます。

$S^2$ の高さ関数（指数 $0,2$）を 2 つ足すと、$S^2\times S^2$ 上に指数 $0,2,2,4$ の臨界点を持つ Morse 関数を得ます。すべて偶数なので 系 7.4 から $b_0=1$、$b_2=2$、$b_4=1$、他は $0$、$\chi=4$ です。

参考文献

• J. Milnor, Morse Theory, Annals of Mathematics Studies 51, Princeton University Press, 1963 — Part I（§§1–5：Morse の補題、胞体の接着、Morse 不等式、Reeb の定理）。
• 松本幸夫『Morse 理論の基礎』岩波書店, 2005 — 非退化臨界点、ハンドル分解。
• V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology, Prentice-Hall, 1974 — Chapter 1 §7（Morse 関数の存在）。
• R. Bott, “Morse theory indomitable”, Publications Mathématiques de l’IHÉS 68 (1988), 99–114.
• E. Witten, “Supersymmetry and Morse theory”, Journal of Differential Geometry 17 (1982), 661–692.