数学 › 微分幾何学 › Morse 理論

臨界値を含まない区間の変形

定理 5.1（「Morse 理論」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 64 件、定義なども含めて 82 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間

  • LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間

    • コンパクトハウスドルフ空間は T4✓定理 4.5・分離公理と距離づけ可能性

      • T0・T1・T2定義 3.1・分離公理と距離づけ可能性
      • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
    • 縮小補題✓補題 4.4・分離公理と距離づけ可能性

      • 正則・正規と T3・T4定義 4.1・分離公理と距離づけ可能性
    • コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性

      • 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
• 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
• コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

  • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性

      • ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値 この先をたどる →
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性

      • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
      • Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性

      • 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束 この先をたどる →
      • 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束 この先をたどる →
      • 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
      • 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性

      • 初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • 初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
      • C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
      • 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
    • パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性

      • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
      • 流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
• 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

  • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
• 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性

  • 連続性の同値条件✓定理 3.3・連続写像と同相写像

    • 点における連続性定義 3.2・連続写像と同相写像
• ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジー

  • ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  • H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  • 変位レトラクト定義 2.6・基本群と被覆空間

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

• コンパクト多様体の整係数コホモロジー✓補題 8.3・層コホモロジーと直線束
• 臨界点の通過と胞体の接着✓定理 6.1・Morse 理論
• Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論
• Reeb の球面定理✓定理 8.3・Morse 理論
• Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
• 臨界点が 2 つの Morse 関数をもつ閉多様体はねじれ球面✓命題 2.7・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
• ハンドル鎖複体✓命題 6.1・ハンドル分解と手術