コンパクト多様体の整係数コホモロジー

補題 8.3（「層コホモロジーと直線束」§8）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をコンパクトな滑らかな多様体とする。

各 $q$ について特異ホモロジー群 $H_q(X)$ は有限生成アーベル群である。
各 $k$ について、 $H^k(X,\mathbb{Z})\to H^k(X,\mathbb{R})$ の核は有限群で、像は $H^k(X,\mathbb{R})$ の $\mathbb{R}$ 上の基底が生成する部分群（階数 $b_k$ の格子）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 207 件、定義なども含めて 248 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理この先をたどる →
  - テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論
  - 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形この先をたどる →
- 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
- 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論この先をたどる →
臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
- コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間この先をたどる →
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性この先をたどる →
- ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー
- ホモロジー群定義 2.3・特異ホモロジー
- 命題 2.2✓特異ホモロジー
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
定数層のコホモロジーと特異コホモロジー✓定理 4.1・層コホモロジーと直線束
- 芽の族の層✓補題 4.2・層この先をたどる →
- 層化の存在と普遍性✓定理 4.3・層この先をたどる →
- 層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層この先をたどる →
- コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性この先をたどる →
- 細層は非輪状✓補題 3.2・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 細層定義 3.1・層コホモロジーと直線束
- 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 非輪状分解と連結射✓補題 3.3・層コホモロジーと直線束この先をたどる →
- 滑らかな特異鎖によるコホモロジー✓補題 2.3・コホモロジーと双対性この先をたどる →
普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性
- 自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性この先をたどる →
有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
- PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理この先をたどる →
有限生成の場合✓系 3.5・コホモロジーと双対性
- 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理（上で展開済み）
- Ext は分解によらない✓補題 3.3・コホモロジーと双対性
- 普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 2 件

Pic⁰ は複素トーラス✓定理 8.4・層コホモロジーと直線束
射影空間の 1 次ホモロジー✓補題 9.2・層コホモロジーと直線束

コンパクト多様体の整係数コホモロジー

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 11 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件