層化の存在と普遍性

$\mathcal{F}$ を $X$ 上の前層（Abel 群、環、$\mathcal{O}$ 加群、集合のどれでもよい）とする。補題 4.2 で $\mathcal{B}$ を開集合の全体としたときの層 $\mathcal{F}^+$ と射 $\theta\colon \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+$ について、次が成り立つ。$\mathcal{F}^+$ を $\mathcal{F}$ の層化という。

1. すべての $x \in X$ で $\theta_x\colon \mathcal{F}_x \to (\mathcal{F}^+)_x$ は同型である。
2. （普遍性）任意の層 $\mathcal{G}$ と前層の射 $\varphi\colon \mathcal{F} \to \mathcal{G}$ に対し、$\tilde\varphi \circ \theta = \varphi$ となる層の射 $\tilde\varphi\colon \mathcal{F}^+ \to \mathcal{G}$ がただ一つ存在する。この性質をもつ組 $(\mathcal{F}^+, \theta)$ は、$\theta$ と両立する同型を除いて一意である。$\mathcal{F}$ が層なら $\theta$ は同型である。
3. $\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+$ は関手 $a\colon \mathsf{PAb}(X) \to \mathsf{Ab}(X)$ になり、包含関手 $\iota\colon \mathsf{Ab}(X) \to \mathsf{PAb}(X)$ の左随伴である（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。すなわち $\mathsf{Ab}(X)$ は $\mathsf{PAb}(X)$ の反射的部分圏（定義 4.1［随伴関手と随伴関手定理］）である。$\mathcal{O}$ 加群の前層と層についても同じである。
4. Abel 群の前層の列 $\mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}''$ が、すべての開集合 $U$ で完全列 $\mathcal{F}'(U) \to \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}''(U)$ を与えるなら、すべての $x$ で茎の列 $(\mathcal{F}'^+)_x \to (\mathcal{F}^+)_x \to (\mathcal{F}''^+)_x$ は完全である。