数学 › 代数幾何 I（多様体とスキーム） › 層

逆像と順像の随伴

定理 6.3（「層」§6） ・ ✓公理まで証明済み

f ⁣:X→Yf\colon X \to Y を連続写像とする。

  1. YY 上の層 G\mathcal{G} と x∈Xx \in X について、G\mathcal{G} について自然な同型 (f−1G)x≅Gf(x)(f^{-1}\mathcal{G})_x \cong \mathcal{G}_{f(x)} がある。
  2. XX 上の Abel 群の層 F\mathcal{F} と YY 上の Abel 群の層 G\mathcal{G} について、両方の変数について自然な全単射
Hom⁡Ab(X)(f−1G,F)≅Hom⁡Ab(Y)(G,f∗F)\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})

がある。すなわち f−1⊣f∗f^{-1} \dashv f_* である。 3. f−1 ⁣:Ab(Y)→Ab(X)f^{-1}\colon \mathsf{Ab}(Y) \to \mathsf{Ab}(X) は完全関手である。したがって f∗f_* は入射対象を入射対象に写す。 4. OY\mathcal{O}_Y を YY 上の環の層とする。f−1OYf^{-1}\mathcal{O}_Y は XX 上の環の層で、G\mathcal{G} が OY\mathcal{O}_Y 加群なら f−1Gf^{-1}\mathcal{G} は f−1OYf^{-1}\mathcal{O}_Y 加群である。F\mathcal{F} が f−1OYf^{-1}\mathcal{O}_Y 加群なら、f∗Ff_*\mathcal{F} は (2) の単位 OY→f∗f−1OY\mathcal{O}_Y \to f_*f^{-1}\mathcal{O}_Y を通して OY\mathcal{O}_Y 加群になり、(2) の全単射は f−1OYf^{-1}\mathcal{O}_Y 線形な射と OY\mathcal{O}_Y 線形な射を対応させる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件