完全性の判定

補題 5.2（「加法圏とアーベル圏」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ をアーベル圏 $\mathcal A$ の射の列とする。

$B$ で完全であることと、「 $gf = 0$ かつ $(\operatorname{coker} f)(\ker g) = 0$ 」は同値である。
$0 \to A \xrightarrow{f} B$ が完全 $\iff$ $f$ は mono。 $B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全 $\iff$ $g$ は epi。 $0 \to A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が完全 $\iff$ $f$ は $g$ の核。 $A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C \to 0$ が完全 $\iff$ $g$ は $f$ の余核。
$A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C$ が $\mathcal A$ で完全であることと、 $C \xrightarrow{g} B \xrightarrow{f} A$ が $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ で完全であることは同値である。
$\mathcal A = \mathsf{Mod}_A$ なら、 $B$ で完全であることと $f(A) = \operatorname{Ker} g$ は同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 7 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

像分解✓定理 4.4・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
アーベル圏の mono・epi と平衡性✓命題 4.3・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏（上で展開済み）
双対圏もアーベル圏✓命題 4.2・加法圏とアーベル圏
- 核・余核・像・余像定義 2.1・加法圏とアーベル圏
加群の圏はアーベル圏✓命題 4.6・加法圏とアーベル圏
- 核と余核の基本性質✓補題 2.2・加法圏とアーベル圏
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 39 件

層の圏はアーベル圏で、完全性は茎で判定できる✓定理 5.2・層
大域切断と順像は左完全✓命題 6.2・層
完全関手は完全列を保つ✓命題 5.4・加法圏とアーベル圏
Hom の左完全性✓命題 5.5・加法圏とアーベル圏
関手圏はアーベル圏✓命題 5.7・加法圏とアーベル圏
元による図式追跡の規則✓定理 6.3・加法圏とアーベル圏
蛇の補題✓定理 7.1・加法圏とアーベル圏
五項補題✓系 7.2・加法圏とアーベル圏
3×3 補題✓系 7.3・加法圏とアーベル圏
連結射の鎖の水準の記述✓補題 3.2・鎖複体とホモトピー圏
写像錐の基本性質✓命題 5.2・鎖複体とホモトピー圏
擬同型と錐の非輪状性✓系 5.4・鎖複体とホモトピー圏
完全性の基本操作✓補題 2.1・導来関手と δ 関手
分解の存在✓命題 2.3・導来関手と δ 関手
延長補題✓補題 2.4・導来関手と δ 関手
比較定理✓定理 3.1・導来関手と δ 関手
馬蹄補題✓補題 3.3・導来関手と δ 関手
Grothendieck の普遍性定理✓定理 4.4・導来関手と δ 関手
導来関手は δ 関手をなす✓定理 5.2・導来関手と δ 関手
非輪状分解による計算✓定理 5.6・導来関手と δ 関手
次元ずらし✓補題 5.7・導来関手と δ 関手
Ext の平衡性✓定理 6.2・導来関手と δ 関手
加群の Tor・Ext との一致✓命題 7.1・導来関手と δ 関手
lim¹ の記述と Mittag-Leffler 条件✓定理 8.2・導来関手と δ 関手
分裂する短完全列✓補題 2.1・Ext と拡大
短完全列の双積✓補題 2.2・Ext と拡大
拡大の引き戻しと押し出し✓補題 3.4・Ext と拡大
Ext の双関手性と連結射✓補題 4.1・Ext と拡大
Ext¹ と拡大の同値類✓定理 4.2・Ext と拡大
Yoneda 積の well-definedness✓命題 5.3・Ext と拡大
射影対象と Hom の完全性✓命題 3.2・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
随伴と完全性✓命題 4.1・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
有向な部分対象の族と AB5✓補題 6.5・射影対象・入射対象と Grothendieck 圏
導来対✓補題 3.2・スペクトル系列
有界なフィルターの収束✓定理 4.4・スペクトル系列
Hom による五項補題✓補題 3.3・三角圏とホモトピー圏の三角構造
コホモロジー的関手の長完全列✓命題 4.2・三角圏とホモトピー圏の三角構造
$H^0$ はコホモロジー的✓命題 5.6・三角圏とホモトピー圏の三角構造
次数ごとに分裂する短完全列の三角形✓命題 5.7・三角圏とホモトピー圏の三角構造

完全性の判定

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 39 件

関連するノック 1 問

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