数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 導来関手と δ 関手

加群の Tor・Ext との一致

命題 7.1（「導来関手と δ 関手」§7） ・ ✓公理まで証明済み

  1. ModA\mathsf{Mod}_A の射影分解・入射分解は、可換環論の意味の射影分解・入射分解（定義 3.1［Tor・Ext と深さ］）と同じものである。複体 CC について Hn(C)H^n(C) は Ker⁡dn/Im⁡dn−1\operatorname{Ker} d^n / \operatorname{Im} d^{n-1} と標準的に同型である。
  2. Ln(−⊗N)(M)=Hn(PM⊗N)L_n(- \otimes N)(M) = H_n(P_M \otimes N) は、可換環論の Tor⁡nA(M,N)\operatorname{Tor}_n^A(M, N)（定義 4.1［Tor・Ext と深さ］）を射影分解 PMP_M で計算したものであり、MM の射についての作用も一致する。g ⁣:N→N′g\colon N \to N' に対する Tor⁡n(M,g)=Hn(PM⊗g)\operatorname{Tor}_n(M, g) = H_n(P_M \otimes g) は δ 関手の射 L∙(−⊗N)→L∙(−⊗N′)L_\bullet(- \otimes N) \to L_\bullet(- \otimes N') である。
  3. 定義 6.1 の 2 の Ext⁡ModAn(M,N)\operatorname{Ext}^n_{\mathsf{Mod}_A}(M, N) は可換環論の Ext⁡An(M,N)\operatorname{Ext}^n_A(M, N) を PMP_M で計算したものであり、両変数の作用も一致する。定義 6.1 の 1 のものとは 定理 6.2 の 2 により両変数について自然に同型である。
  4. A=ZA = \mathbb Z のとき、Ext⁡Ab1(M,G)\operatorname{Ext}^1_{\mathsf{Ab}}(M, G) は代数的位相幾何の Ext⁡(M,G)\operatorname{Ext}(M, G)（定義 3.2［コホモロジーと双対性］）と標準的に同型である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 47 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 7 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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